一様コーシー列の問題を教えて下さい

質問

(1)f_n(x)=x^n （nは自然数、0≦x≦1)
(2)f_n(x)=x^n （nは自然数、0≦x<1)
上の2つは一様コーシー列であるか？
という問題です。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

(1)
f_n(x)=x^n (nは自然数,0≦x≦1)
任意のε>0に対して
x=1の時,任意の自然数m,nに対して
|f_m(1)-f_n(1)|=0<ε
x=0の時,任意の自然数m,nに対して
|f_m(0)-f_n(0)|=0<ε
0<x<1の時
n_0>log(1/ε)/log(1/|x|)となる自然数n_0が存在し
m≧n>n_0となる任意の自然数m,nに対して
0<x^(m-n)<1
|x^(m-n)-1|=1-x^(m-n)<1
1/|x|^n>1/|x|^n_0>1/ε
だから
|f_m(x)-f_n(x)|
=|x^m-x^n|
=|x^n||x^(m-n)-1|
<|x_n|
<|x^n_0|
<ε
だから
f_n(x)はコーシー列
(この場合n_0はn_0>log(1/ε)/log(1/|x|)のようにxに関係している)
(n_0がxに無関係である時,一様コーシー列というのだけれども)

任意の自然数Nに対して
n>Nとなる自然数nが存在する
x=n/(n+1)
m=2n
とすると
0<x=n/(n+1)<1
lim_{n→∞}{1+(1/n)}^n=e
2<{1+(1/n)}^n<3
2<{(n+1)/n}^n<3
1/2>{n/(n+1)}^n>1/3
1/2>x^n>1/3
1-(x^n)>1/2
だから
|f_m(x)-f_n(x)|
=|x^{2n}-x^n|
=|x^n||(x^n)-1|
>(1/3)(1/2)=1/6
だから
{f_n}は一様コーシー列でない

(2)
f_n(x)=x^n (nは自然数,0≦x<1)
任意のε>0に対して
x=0の時,任意の自然数m,nに対して
|f_m(0)-f_n(0)|=0<ε
0<x<1の時
n_0>log(1/ε)/log(1/|x|)となる自然数n_0が存在し
m≧n>n_0となる任意の自然数m,nに対して
0<x^(m-n)<1
|x^(m-n)-1|=1-x^(m-n)<1
1/|x|^n>1/|x|^n_0>1/ε
だから
|f_m(x)-f_n(x)|
=|x^m-x^n|
=|x^n||x^(m-n)-1|
<|x_n|
<|x^n_0|
<ε
だから
f_n(x)はコーシー列
(この場合n_0はn_0>log(1/ε)/log(1/|x|)のようにxに関係している)
(n_0がxに無関係である時,一様コーシー列というのだけれども)

任意の自然数Nに対して
n>Nとなる自然数nが存在する
x=n/(n+1)
m=2n
とすると
0<x=n/(n+1)<1
lim_{n→∞}{1+(1/n)}^n=e
2<{1+(1/n)}^n<3
2<{(n+1)/n}^n<3
1/2>{n/(n+1)}^n>1/3
1/2>x^n>1/3
1-(x^n)>1/2
だから
|f_m(x)-f_n(x)|
=|x^{2n}-x^n|
=|x^n||(x^n)-1|
>(1/3)(1/2)=1/6
だから
{f_n}は一様コーシー列でない

お礼

助かりました