コーシー列の積

質問

こんにちは。コーシー列｛Xi},{Yi}を考えた時にそのコーシー列の積は他のコーシー列になっていることを証明せよ、という問題で、コーシー列の積を｛XiYi}と表し、|XiYi-XjYj| = |XiYi-XiYj+XiYj-XjYj|≦ |Xi||Yi-Yj|+|Yj||Xi-Xj|と、ここまでは何とかできたんですが、これがコーシー列になる事が証明できません。どなたかなるべく詳しく教えてください。宜しくお願いします。

回答No.5

joggingman · ベストアンサー

詳しい目の教科書には、２通りの説明があるのですが、

任意のε>0について、のεにこだわると♯２のような解答になって、
いちいちこだわらないなら、

{Xi},{Yi}がコーシー列だから、
任意のε1,ε2>0に対し、あるNがあって、i,j>Nについて、
|Xi-Xj|<ε1
|Yi-Yj|<ε2
任意のε>0にたいし、
i,j>Nについて、M=max{|Xi|,|Yi|}があって（コーシー列は収束列）
|XiYi-XjYj|≦|Xi||Yi-Yj|+|Yj||Xi-Xj|<M(ε1+ε2)<ε
が成立するように、Ｎを選ぶことができる。
（εがどんな値でも、Ｎを大きくとると、ε1、ε2をいくらでも小さく
とれるので、Ｍ（ε1＋ε2）＜εとできるから）

＃２では、Ｍ(ε1＋ε2）=εになるように、細工をしているだけで、
本質的ではないということです（図書館等やサイトで探せば、
そういう記述は出てくると思います。）

コーシー列⇔収束列　は条件によるので、
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2915068.html
を参考に

お礼

丁寧に答えていただきどうもありがとうございました。コーシー列が少し理解出来た様な気がします。またよろしくお願いします。

回答No.4

koko_u_

>この文の意味が分かりません。
自分で考えて欲しい。
コーシー列とはどんな数列なのかをε-δの定式化自体ではなく、「感覚的」に理解できるようになりましょう。

回答No.3

koko_u_

>すいませんが、|Xi-Xj|<ε/(2(max|Yn|))<ε/(2|Yj|)
>|Yi-Yj|<ε/(2(max|Xn|))<ε/(2|Xi|)
>
>の部分が良く理解出来ないので、補足していただけると嬉しいです。
特に意味のない式変形です。

有界だとわかったんだから |X_i| < M , |Y_i| < M なる十分大きな M がインデックスに関係なく取れますね。M の具体的な形など気にする必要はありません。

さすれば |X_i * Y_i - X_j * Y_j| < M * (|X_i - X_j| + |Y_i - Y_j|)

M はインデックス i, j に関係のない正数だから、コーシー列の定義から右辺は十分大きな i, j に対して小さくできるということ。

最後を |X_i * Y_i - X_j * Y_j| < ε にまとめたい、などと考える必要もありません。見辛くなるだけです。

補足

>コーシー列の定義から右辺は十分大きな i, j に対して小さくできるということ。
この文の意味が分かりません。それと、|X_i * Y_i - X_j * Y_j| < M * (|X_i - X_j| + |Y_i - Y_j|)がどういう風に|XiYi-XjYj|≦|Xi||Yi-Yj|+|Yj||Xi-Xj|<ε/2+ε/2=εと結びつくのでしょうか？宜しくお願いします。

回答No.2

joggingman

こんにちわ、はじめまして。

{Xi},{Yi}がコーシー列だから、
任意のε1,ε2>0に対し、あるNがあって、i,j>Nについて、
|Xi-Xj|<ε1
|Yi-Yj|<ε2
とできる。

とすると、任意のε>0に対し、N0を,i,j,n>N0について、
|Xi-Xj|<ε/(2(max|Yn|))<ε/(2|Yj|)
|Yi-Yj|<ε/(2(max|Xn|))<ε/(2|Xi|)
をみたすようにとることができる（{Xi},{Yi}が収束列だから、
あるNより大きいｎにつきXn,Yｎのmaxは存在する）。

結局、任意のε>0に対し、あるN0を上のようにとると、
i,j>N0のi,jについて
|XiYi-XjYj|≦|Xi||Yi-Yj|+|Yj||Xi-Xj|<ε/2+ε/2=ε
とできる。

もしくは、コーシー列は収束列。収束列の積も収束列（証明は
教科書等で）、収束列はコーシー列だから、コーシー列の積も
コーシー列とするか

補足

こんにちは。丁寧な回答どうもありがとうございます。すいませんが、|Xi-Xj|<ε/(2(max|Yn|))<ε/(2|Yj|)
|Yi-Yj|<ε/(2(max|Xn|))<ε/(2|Xi|)

の部分が良く理解出来ないので、補足していただけると嬉しいです。宜しくお願いします。

回答No.1

koko_u_

Cauchy列が有界であることを証明し、それを利用するんだ。

補足

|Xi|はコーシー列なのでいいのですが、|Yj|の扱いに困ってます。コーシー列が有界であることは使っても良いみたいです。