コーシー列

質問

Q（有理数全体の集合）の2つのコーシー列｛an},{bn}について、

　（１）{an+bn}はQの中のコーシー列であることを証明せよ。
　（２）{an－bn}はQの中のコーシー列であることを証明せよ。

この問題の解き方がわかりません。

『{an-bn}がコーシー列』⇔m>n,lim[n→∞]{(am-bm)-(an-bn)}＝0
⇔m>n,lim[n→∞]{(am-an)-(bm-bn)}＝0
m>n,lim[n→∞](am-an)、lim[n→∞](bm-bn)は共に収束するので、
limの分配ができて

以下、続きを教えてください。

回答No.2

mmk2000

通常、こういう問題を証明するときはいきなり{an+bn}について考えるわけではなく、｛an},{bn}がそれぞれコーシー列なので
lim[n,m→∞]|An-Am|=0
lim[n,m→∞]|Bn-Bm|=0

ここで、
0<|(An+Bn)-(Am+Bm)|
=|(An-Am)+(Bn-Bm)|≦|An+Am|+|Bn+Bm|(∵三角不等式)
これではさみうちをすれば（１）は解けるんではないでしょうか？

回答No.1

koko_u_

とりあえず、コーシー列の定義が間違っているので再度勉強して下さい。