コーシー列上の同値関係

質問

（αn）、（Βn）∈C　（αn）～（Βn）⇔lim n→∞（αnーΒn）＝０で、
C＝{αn,n=1,2,3・・・|αn∈Ｑ,n=1,2,3,・・・,コーシー列}
（Cはコーシー列をすべて集めたものらしいです）
と言う定義が与えられた上で、
～はC上の同値関係であることを示せと言う問題が出ました。
ヒントとして、
（αn）も（Βn）も収束するときには
lim n→∞（αn＋Βn）＝lim n→∞ αn＋lim n→∞ Βnが成り立つ
と言う定義が与えられたんですが,
頭ではなんとなくわかっていても証明するには
どう書いたらいいかわからなかったので・・・
重要なポイントが一つあるらしいのですが,それが何なのかは見当つかないです・・

回答No.4

Nandayer

すみません。メールが届かなかったもので（どうしてだろう？）、返事が遅れました。

＞ N = max (L,M)とは、L,Mのうち大きいほう、という意味でしょうか。
　そうです。

＞（前略）という感じの証明でいいでしょうか？
　そのとおりです。
　論理を展開する上ではもっとうまい言い方があると思いますが、言い直しはこの項目の主題ではないようです。

＞回答者としてのこだわりを感じました。
　というより、コーシー列を出してるので、ε-δ論法を使ってもよいだろうと思いました。
　（コーシー列の概念は、ε-δ論法レベルの議論でないと意味がないと思ってました。）

　『「ある実数に収束する」ことを使いたくないので、ε-δ論法にしました。』と記述しましたが、これは削除します。Mell-Lily さんの御回答を読んで気づきましたが、注意深くやればε-δ論法を使わなくてもできるようですから。
　しかし、これもこの項目の主題ではないようです。

　全般的に #2 の回答はズレてました。
　すみませんでした。少しへこんでます。

お礼

＞すみません。メールが届かなかったもので（どうしてだろう？）、返事が遅れました。

こんなに時間が経っているのに、覚えて下さっていてありがとうございます。

＞＞（前略）という感じの証明でいいでしょうか？
＞　そのとおりです。
＞　論理を展開する上ではもっとうまい言い方があると思いますが、言い直しはこ＞の項目の主題ではないようです。

どうも自分は証明が下手なんですよね。力技で証明しようとしたら
ああなってしまいました。
言い直しをして頂きたいなら新たに質問を立てたほうがいい、
ということでしょうか？

＞　『「ある実数に収束する」ことを使いたくないので、ε-δ論法にしました。』＞と記述しましたが、これは削除します。Mell-Lily さんの御回答を読んで気づきましたが、注意深くやればε-δ論法を使わなくてもできるようですから。
＞　しかし、これもこの項目の主題ではないようです。

自分もMell-Lilyさんの証明を参考にしつつ証明をやってみましたが、
かなりのこじつけになってしまいました。
証明の技術も向上したいと思っているので、また別件で質問を立てたほうが
いいかもしれませんね。

＞　全般的に #2 の回答はズレてました。
＞　すみませんでした。少しへこんでます。

いえいえ、自分の知識も一つ広がって、満足していますよ。
忙しい中ご回答ありがとうございました。
Mell-Lilyさんとともにポイントの発行はもうしばらく待ってください。

回答No.3

Mell-Lily

Cは、コーシー列の集合の全体として与えられているのですから、{γn}∈Cを持ち出しても何ら差し支えありません。C上の同値関係～を
　(αn),(βn)∈C, (αn)～(βn)⇔lim[n→∞](αn-βn)=0
によって定義するとき、Cの要素(αn),(βn)は、Cの特定の要素ではなく、任意の要素です。この定義によって、Cの全ての要素について、二項関係～が定義されます。したがって、この定義には、
　(αn),(γn)∈C, (αn)～(γn)⇔lim[n→∞](αn-γn)=0
ということも含まれているのです。C上の二項関係～が同値関係であるとは、Cの任意の要素(αn),(βn),(γn)について、
(1)反射律
　(αn)～(αn)
(2)対称律
　(αn)～(βn) ⇒ (βn)～(αn)
(3)推移律
　(αn)～(βn), (βn)～(γn) ⇒ (αn)～(γn)
が成り立っていることを言います。

お礼

良く最初の返答を見てみたら、さっき自分のやったことと同じだとわかり、
ほっとしました。（回答をしっかり頭に入れてなくてすいません）
コーシー列の収束はおまけ程度に質問として投げかけておくこととします。

補足

そういえば授業でもっと簡単な式について同値関係が成り立つことを
証明する問題がありました。
これも同じようにすればよいと言うことですね。
γもαやβと同じ性質のものとして持ち出していいわけですね。
何気なくノートを見返してみたら、
「コーシー列は収束する」とノートに書いてあり、
これは定義として使ってよいのかなと思いました。
（良くなければここでの書き込みの出番となります。）
ヒントとして、
limn→∞(an+bn)=limn→∞an+limn→∞bnが
(an)も(bn)も収束するときに成り立つと書いてあり、
また、(an)が収束するときは、
limn→∞(kan)=klimn→∞anも成り立つとも書いてあり、
ここから、limn→∞（an-bn）=limn→∞(an)-limn→∞(bn)=0
が成り立つと証明したのですが、これは間違っているでしょうか？
ここから3つの条件をそれぞれ導出してしまいました。
コーシー列が収束していると言うことが定義として与えられていれば
いいのですが・・・
証明する方法とか、ありますか？

回答No.2

Nandayer

反射律，対称律は比較的簡単でしょうから、推移律だけを示します。
　いわゆるε-δ論法を使います。
　 (αn) ～ (βn) ，(βn) ～ (γn) としましょう。
　ε > 0 を任意にとります。すると、(αn) ～ (βn) より、
　　　lim n→∞（αnーβn）＝０
なので、ある L が存在して、
　　　n > L ならば　| αn ー βn | <ε/2
同様に (βn) ～ (γn) より、ある M が存在して、
　　　n > M ならば　| βn ー γn | <ε/2
そこで、N = max (L,M) とおくと、　n > N ならば、
　　　| αn ー γn | ≦ | αn ー βn | + | βn ー γn | < ε
よって、
　　　lim n→∞（αnーγn）＝０
であって、(αn) ～ (γn)です。
　以上より推移律が成り立ちます。

［この問題の意図］
　 C を同値関係～で割った商集合として、実数の集合Ｒを定義します。
　つまり、有理数の集合Ｑから実数の集合Ｒを「作る」のです。
　（したがって、「ある実数に収束する」ことを使いたくないので、ε-δ論法にしました。）
　さらにはＲ上に大小関係、四則演算などを定義することができます。

　以上、少々書きとばしていますので、わかりにくいところがあったら再質問してください。

補足

N = max (L,M)とは、L,Mのうち大きいほう、という意味でしょうか。
他の二つもε-δ論法で出来ると言うことでしょうか？
α～β、β～αを示す時は、
　　　lim n→∞（αnーβn）＝０
なので、ある L が存在して、
　　　n > L ならば　| αn ー βn | <ε
| βn ー αn | としても絶対値は変わらないので、
　　　lim n→∞（βnーαn）＝０
となる、という感じの証明でいいでしょうか？
（なんだか他の回答者の方の回答と同じ感じになってしまいましたが(^^;）
ε-δ論法について調べてみたのですが、
「数学科の学生の間では悪名高く、数学科の卒業生でも使えない人がいるくらい抽象的な概念である。しかし、一度理解してしまうと、タイトルに書いたように魅惑的な産物で、曖昧さがなくなります。」
と言う記述があり、
（http://www.ed.noda.tus.ac.jp/~j6102609/inf5.html）
回答者としてのこだわりを感じました。
意図の部分が結構難しいですね。
今やっているのは幾何の授業で、この問題のあたりでは、デデキントの切断が
出てきたりしました。最近無限大についても解析的なアプローチを
やっているので、この回答でもポイントが高いかもしれません。
ありがとうございます。

回答No.1

Mell-Lily

【問題】
(αn),(βn)∈C, C={αn|αn∈Q, αnはコーシー列}のとき、C上の二項関係～を
　(αn)～(βn) ⇔ lim(αn-βn)=0
と定義すれば、～は同値関係であることを示せ。

【証明】
αn,βn,γnは、コーシー列であるから、実数Rの範囲で収束する。よって、
　lim(αn)=a, lim(βn)=b, lim(γn)=c, a,b,c∈R
とおける。さて、二項関係～の定義より、
　(αn)～(αn) ⇔ lim(αn-αn)
であるが、
　lim(αn-αn)=lim(0)=0
であるから、反射律
　(αn)～(αn)
が成り立つ。また、同じく、
　(αn)～(βn) ⇔ lim(αn-βn)=0
　(βn)～(αn) ⇔ lim(βn-αn)=0
であるが、
　lim(αn-βn)=0 ⇔ lim(βn-αn)=0
であるから、対称律
　(αn)～(βn) ⇒ (βn)～(αn)
が成り立つ。さらに、同じく、
　(αn)～(βn) ⇔ lim(αn-βn)=0
　(βn)～(γn) ⇔ lim(βn-γn)=0
　(αn)～(γn) ⇔ lim(αn-γn)=0
であるが、
　lim(αn-βn)=0, lim(βn-γn)=0
　⇔ lim(αn)-lim(βn)=0, lim(βn)-lim(γn)=0
　⇔ a-b=0, b-c=0
　⇒ a-c=0
　⇔ lim(αn)-lim(γn)=0
　⇔ lim(αn-γn)=0
であるから、推移律
　(αn)～(βn), (βn)～(γn) ⇒ (αn)～(γn)
が成り立つ。以上から、題意が示された。　q.e.d.

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。
ただ、要求されているものは、
limn→∞(k*αn)＝k*limn→∞(αn)を利用し、
(αn)～(βn)limn→∞(αn)－limn→∞(βn)＝０の
～がＣ上の同値関係であることを示さなければならないようです。
γを持ち出してはならないようです。