コーシー列での証明の仕方は?

質問

[問]f(x)がRで連続、{a(n)}はコーシー列とする。f(a(n))はコーシー列になる事を示せ。
という問題なのですがこれはどうやって解けばいいのでしょうか?

コーシー列とは
0<∀ε∈R,∃k∈N;k<m,n⇒|a(m)-a(n)|<ε
となる数列の事です。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

{a(n)}がコーシー列ならば、Rが完備なことから収束列である。
よって、a(n)→α∈Rとなる。
fの連続性から、f(a(n))→f(α)であるから、{f(a(n))}は収束列であり、
従って、コーシー列である。
（Rにおいては収束列＝コーシー列であり、また一般に収束列⇒コーシ
－列ということを使っている。）

お礼

有難うございました。
お陰様で納得致しました。