部分分数分解

質問

こんばんは。
よろしくお願いいたします。

次の和を求めよ。
1/(2・4)+1/(4・6)+1/(6・8)+.......+1/{2n(2n+2)}

私は
Sn=(1/2-1/4)+(1/4-1/6)+(1/6-1/8)+...+(1/2n-1/2n+2)とやりましたが、違いました。1/4で割るらしいのですが、なぜなのかわかりません。

教えてください
よろしくお願いいたします。

回答No.4

nozomilv · ベストアンサー

こんにちは

例えば
1/(1・2)+1/(2・3)+1/(3・4)・・・・は
(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)と部分分数に分解できます。

これは
1/(1・2)＝1/1-1/2=1/2
1/(2・3)=1/2-1/3=1/6がそれぞれ成り立っています。

では
1/(2・4)+1/(4・6)+1/(6・8)+・・・・を考えると
(1/2-1/4)+(1/4-1/6)+(1/6-1/8)としたいところですが

1/(2・4)＝1/8　一方
(1/2-1/4)　＝1/4となります。
つまり1/(2・4)≠(1/2-1/4)です。
1/(2・4)　=　1/2((1/2-1/4))としてやる必要があります。
なので1/2｛(1/2-1/4)+(1/4-1/6)+(1/6-1/8)｝となります。

この1/2の見極め方は分母の数を見てやるとわかります。
1・2、2・3、3・4の場合は差が１
2・4、4・6、6・8の場合は差が２となります。

1・5、2・6、3・7などの場合は1/3をつけてやって
1/(1・5)+1/(2・6)+1/(3・7）＝
1/3｛(1-1/5)+(1/2-1/6)+(1/3-1/7)｝となります。

ただしこの方法が使えるのは1/a・bのときa,bの差が使えますが
分子が１でないときには恒等式の知識が必要になると思います。

お礼

ありがとうございました
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回答No.3

noname#101087

>1/(2・4)+1/(4・6)+1/(6・8)+.......+1/{2n(2n+2)}

　1/(2・4)+1/(4・6)+1/(6・8)+.......+1/{2n(2n+2)}
= (1/4)*[1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + ..... + 1/{n*(n+1)}]
と
　1/{n*(n+1)}
= 1/n - 1/(n+1)
とを使うんだと思います。

お礼

ありがとうございました
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回答No.2

info22

1/{2n(2n+2)}≠(1/2n-1/2n+2)
です。
正しくは
1/{2n(2n+2)}≠(1/2){1/(2n)-1/(2n+2)}

お礼

ありがとうございました
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回答No.1

Quattro99

1/(2・4)≠1/2-1/4ですから。
1/4で割るというのはおかしいように思いますが。

お礼

ありがとうございました
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