部分分数分解について

質問

(1)(1/(k+1)(k+3))=X{(1/(k+1))-(1/(k+3))}がkについての恒等式となるように定数Xの値を求めてください。

(2) (1)の恒等式を用いて
n
Σ (1/(k+1)(k+3))
k=1
を求めてください。

(3) (2)の結果を利用して
∞
Σ (1/(k+1)(k+3))
k=1
を求めてください。

(1)は{(1/(k+1))-(1/(k+3))}の値を計算しXの値を1/2にすればkについての恒等式になるので1/2が正しいと考えています。

(2)は(1/2){(1/(k+1))-(1/(k+3))}を用いて計算し(5n^2+25n+24)/(12(n+2)(n+3))になりました。

(3)分かりません。

どれかひとつでもいいので回答よろしくお願いいたします。

回答No.1

spring135

(1)(1/(k+1)(k+3))=X{(1/(k+1))-(1/(k+3))}

1/(k+1)(k+3))=(1/2)[1/(k+1)-(1/(k+3)], X=1/2

(2)
n
Σ (1/(k+1)(k+3))=(1/2)Σ(k=1,n)[(1/2)[1/(k+1)-(1/(k+3)]
k=1

=(1/2)[(1/2)+(1/3)-1/(n+2)-1/(n+3)]=(1/2)[5/6-(2n+5)/{(n+2)(n+3)]

(3)
∞
Σ (1/(k+1)(k+3))=lim(n→∞)(1/2)[5/6-(2n+5)/{(n+2)(n+3)]=5/12
k=1

お礼

回答ありがとうございます。
補足のほうもお願いします

補足

回答ありがとうございます。
(2番についての回答)
(1/2)Σ(k=1,n)[(1/2)[1/(k+1)-(1/(k+3)]
　　　　　　　　　↑Σの前に1/2を出してもここには1/2がいるのでしょうか？