部分分数分解について

質問

こんばんは。
部分分数分解というもののついて質問です。

一般的に、分母が(x+n)：nは定数　の積になっていて、分子が分母の次数より低ければ、分母の因数で部分分数に分解することができます。
このとき各項の分子は定数になっています。
例）
(x+3)/(x+1)(x+2)=2/(x+1)-1/(x+2)

では分母が因数分解できない場合や重解のときはどうなるのでしょうか。
例）3x/(x^2+1)(x+5)^2　など。

また、分解したあとの項の分子にxが残っている場合もありました。
これはどのような時に起こるのでしょうか。

部分分数分解とはどのような理論にそってやっていることなのかイマイチ直感的に理解できないので、詳しく教えてください。
ただ、高校生でも理解できるレベルでお願いします(><)

回答No.3

ask-it-aurora · ベストアンサー

<回答No.2お礼

>すべての多項式は最高二次式の積にまで因数分解することができるということでしょうか？
はいーただし実数係数多項式という条件の下では.高校生ならばその程度の理解でも構わないとは思いますが,因数分解というのはどんな種類の数(専門用語で云うところの「体」)で考えているか,というのに依存して決まります.例を挙げてみましょう.
p(x) = (x^2 + 1)(x^2 - 2)
という多項式を因数分解することを考えます.ここで多項式の係数に何を許すかに応じてその形は異なります.
[有理数の場合] p(x) = (x^2 + 1)(x^2 - 2)
[実数の場合] p(x) = (x^2 + 1)(x + √2)(x - √2)
[複素数の場合] p(x) = (x + i)(x - i)(x + √2)(x - √2)

>これはNo.1さんの回答にもあった通り、「分子の次数は分母の次数よりひとつ小さい」からだということでいいのでしょうか？
もう少し適切な言い方をするなら商と余りを考えることでいつでも分子の次数は分母の次数より小さくできるから,でしょう.先の参考URLの3ページにある「h(x)/(x - a)^kにおいて‥」から3ページの終わりまでをよく読むとよいと思います.回答No.1で言及されているような「ポイント」があるとすればそれは

(i)f(x)/(P_1(x)‥P_n(x)) = h_1(x)/P_1(x) + ‥ + h_n(x)/P_n(x) と分解できる(3ページ6行目);
(ii)商と余りを考えることでいつでも分子の次数は分母の次数より小さくできる

だと思います.

お礼

なるほど！実数係数の多項式までは必ず因数分解できるのですね。
ありがとうございます。助かりました。

回答No.4

178-tall

部分分数展開は、操作こそ単純ですが、多重零点がある場合、係数を筆算していくにつれ「嫌気」がさしてくる。
(x+5)^2 だったら (x+1)^2 と零点値を規準化するだけで、だいぶ楽になることが多い。

…ということで、
>例）x/(x^2+1)(x+5)^2
をやや変形した
　x/(x^2 + 2)(x+1)^2
の分解例でも…。

　x/(x^2 + 2)(x+1)^2 = A(x)/(x^2 + 2) + B/(x+1)^2 + C/(x+1)　　…(0)
　　…A(x) は x の一次式、B, C, は定数。
が展開形式。

(0) の右辺を通分し、両辺の分子を等置して、
　x = A(x)(x+1)^2 + B(x^2 + 2) + C(x^2 + 2)(x+1)　　　…(1)
なる恒等式を作る。

手始めは二重極項の係数 B 。
(1) へ x = -1 を代入し、
　-1 = 3B → B = -1/3

これを使い (0) にて x/(x^2 + 2)(x+1)^2 + 1/3(x+1)^2 と移項して、
　(x+2)/{3(x^2 + 2)(x+1) } = A(x)/(x^2 + 2) + C/(x+1)　　　　…(2)
を得る。(二重極の処理で単一極が残る)
右辺を通分して両辺の分子を等置、
　(x+2)/3 = A(x)(x+1) + C(x^2 + 2)　　　　　…(3)

(3) にて x = -1 として、
　1/3 = 3C → C = 1/9

これを使って (2) から、
　A(x)/(x^2 + 2) = (-x+4)/9(x^2 + 2)

つまり、
　x/(x^2 + 2)(x+2)^2 = (-x+4)/9(x^2 + 2) - 1/3(x+1)^2 + 1/9(x+1)
でチョン。

勘定の数値が、けっこうゴチャゴチャしますネ。

お礼

回答ありがとうございます。
効率のよい解き方を教えてくださりありがとうございます。
もう最高で分子は一次だということがわかったので迷わずいけそうです。

回答No.2

ask-it-aurora

質問に挙げてあるふたつめの例だと係数がすこし複雑にですが次のように3つの項の和として部分分数分解できます.
(3 (12 x+5))/(338 (x^2+1))-18/(169 (x+5))-15/(26 (x+5)^2)
この例を観察してみると因数分解できなかった(既約な)部分は部分分数分解した後も分母のひとつに残っていること,その分子がxの一次式であること,(2)重根をもつ場合は分母に(x+5)と(x+5)^2の2種類が出てくることがわかります.

より一般の場合には因数分解できなかった(既約な)部分は部分分数分解した後も分母に残り,その分子はxの高々一次式であり,m重根をもつ場合は分母に(x + c), (x + c)^2, ..., (x + c)^mのm種類出てくることが知られています.いま述べたことを一般化して数式で書くと面倒くさくなるので参考URLの最後のページにある枠内に書かれていることを見てください.がんばれば高校生も読めそうな説明も付いています.(注意:参考URLに書かれているのは実数係数多項式の場合です.係数がたとえば複素数に変わると状況はもっとかんたんになります.一方,有理数に変えるとどうなるかは僕は知りませんが,きっとかなり難しくなると思います.)

どう部分分数分解されるかは上で答えたのですが,理論的にどう捉えるとわかりやすいのかは高校の範囲を越えています.「いつでも上のような部分分数分解は見つかるんだ」と信じて,楽観的に未知係数をおいてみて解く,というのが高校生らしい(?)態度かと.
たとえばかんたんといった複素数係数の場合はgに応じて決まるベクトル空間
V(g) = { f(x)/g(x) | deg(f) < deg(g) }
とその基底を考えれば部分分数分解がいつでもできることがよくわかります.(大学1年生くらいのレベルですね.)また関数論の極や主要部といった言葉を使って理解することもできますし,他にも色々あるかもしれません.調べてみてください.

参考URL：

http://homepage3.nifty.com/stco/math/biseki/bubun-bunsu.pdf

お礼

回答ありがとうございます。
高校レベルでは難しい話でしたか！
参考URLのサイトはなんとなく理解することができました(^_^;)

しかしひとつ疑問に思ったのでお願いします。
＞より一般の場合には因数分解できなかった(既約な)部分は部分分数分解した後も分母に残り,その分子はxの高々一次式であり

と書いてくださりましたが、これはNo.1さんの回答にもあった通り、「分子の次数は分母の次数よりひとつ小さい」からだということでいいのでしょうか？
つまりすべての多項式は最高二次式の積にまで因数分解することができるということでしょうか？

回答No.1

Tacosan

3x/(x^2+1)(x+5)^2
だと, たぶん
a/(x^2+1) + b/(x+5)^2
(ただし a, b は 1次式) とするのがわかりやすいかな. 「分子は分母より 1つだけ次数が小さい」というのがポイント.

基本的には「分母をばらして恒等式」なんだけどね.

お礼

回答ありがとうございます。
＞「分子は分母より 1つだけ次数が小さい」というのがポイント
そうなんですか！もう少し考えてみます。