微分方程式

質問

y'^3-4xyy'+8y^2=0
の一般解と特異解を求めよ。

という問題なのですが、
変形して、
2y=y'(x-y'^2/4y)
として、y'^2/4x=u(x)と置いて
dy/dx=2y/(x-u(x))
の形にして、変数分離して解こうとしたのですが、なかなかうまくいきません。どなたか、アドバイス宜しくお願い致します。

回答No.1

Ae610

与式=F(x,y,y')=y(y^2-4xy'+8y)=0
y'=pとおくと　　∂F(x,y,p)/∂p=-4x=0
よって判別方程式はx=0　　よって特異解はなし。
与式からy=0 またはy^2-4xy'+8y=0
故にy(y+8)=4xy' これよりdy/y(y+8)=dx/4xとなって
1/8・(1/y-1/(y+8))dy=dx/4x
よって1/2・log(y/(y+8))=logCx (Cは常数)
よって√(y/(y+8))=Cx (Cは常数)は一般解

（ちと自信ない・・・）

お礼

ありがとうございました。

参考になりました！！