条件付期待値の求め方について

質問

P(Y=a|X=k)　１≦ｋ≦N、０≦a≦ｋがわかっているとき
E(Y|X=k)＝Σ[範囲a=0,k]a*P(Y=a|X=k)を求めることができ
次にE(Y)を求めようとするときに
E(Y)=Σ[k=1,N]E(Y|X=k)とすることの間違いはなぜ起きるのでしょうか？？

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

うまく説明できるか自信がないのですが。
＞　E(Y|X=k)＝Σ[a=0,k]a*P(Y=a|X=k)
この通りなのですが、X=k という条件下では、Y=0,1,..,k が全ての事象を網羅している（っていうと文学的ですが）わけで、
Σ[a=0,k]P(Y=a|X=k) = 1
ですね。ということは、
E(Y) = Σ[k=1,N] E(Y|X=k)
としてしまうと、この計算に現れる P(Y=a|X=k) を全て加算すれば
Σ[k=1,N]Σ[a=0,k] P(Y=a|X=k) = N
です。ですから、E(Y|X=k) を単に加算するのは明らかにおかしいですね。

違う見方をして、
E(Y) = Σ[a=0,N] a・P(Y=a)
ですが、これが Σ[k=1,N] E(Y|X=k) と等しくなるためには、
P(Y = a) = Σ[k=a,N] P(Y=a|X=k)
が成り立たなければなりませんが、それが成り立たないのは条件付き確率の定義からも明らかでしょう。
P(Y=a|X=k) が与えられているだけでは、P(Y=a) を求めることはできませんので、E(Y) も求められません。ちなみに、
P(Y=a|X=k) = P(Y=a ∧ X=k) / P(X=k)
より
P(Y=a) = Σ[k=1,N] P(X=k) P(Y=a|X=k)
E(Y) = Σ[k=1,N] P(X=k) E(Y|X=k)
が導かれます。直感的にもこんな感じではないでしょうか？

分からなくなったら、N=2 ぐらいで確認してみましょう。たとえば、
X=1 のとき、P(Y=0|X=1) = P(Y=1|X=1) = 1/2
X=2 のとき、P(Y=0|X=2) = P(Y=1|X=2) = P(Y=2|X=2) = 1/3
と定めると、
E(Y|X=1) = 0・(1/2) + 1・(1/2) = 1/2
E(Y|X=2) = 0・(1/3) + 1・(1/3) + 2・(1/3) = 1
仮に P(X=1) = P(X=2) = 1/2
とすれば、
E(Y) = 0・P(Y=0) +1・P(Y=1) + 2・P(Y=2)
= 0・(P(Y=0∧X=1)+P(Y=0∧X=2)) + 1・(P(Y=1∧X=1)+P(Y=1∧X=2)) + 2・P(Y=2∧X=2)
ここで P(Y=a∧X=k) = P(Y=a|X=k) P(X=k) より
= 0・{ P(Y=0|X=1)P(X=1)+P(Y=0|X=2)P(X=2) } + 1・{ P(Y=1|X=1)P(X=1) + P(Y=1|X=2)P(X=2) } + 2・P(Y=2|X=2)P(X=2)
= P(X=1) { 0・P(Y=1|X=1)+1・P(Y=1|X=1)} + P(X=2) { 0・P(Y=0|X=2)+1・P(Y=1|X=2)+2・P(Y=2|X=2) }
=P(X=1)E(Y|X=1) + P(X=2)E(Y|X=2)
= 1/2・1/2 + 1・1/2
= 3/4
ここで、P(X=1), P(X=2) が変われば、当然 E(Y) も変化すること、一方、P(Y=a|X=k) は上で例にあげたように P(X=k) とは無関係に定めることができることに注意です。