条件付期待値、分散を用いた期待値の求め方

質問

E(Y|X=k)とV(Y|X=k)が与えられているとき
V(Y)=V(E(Y|X))＋E(V(Y|X))として解けるのはなぜでしょうか？？

V(Y|X=x)＝E((Y-E(Y|X=x))^2｜X=x)と何かを用いて解けるとは思うのですがどうやればいいのでしょうか？？教えてください。

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

V(Y) = E(Y^2) - {E(Y)}^2
= Σ P(X=k) E(Y^2|X=k) - { Σ P(X=k) E(Y|X=k) }^2
= Σ P(X=k) {E(Y^2|X=k) - (E(Y|X=k))^2} + Σ P(X=k)(E(Y|X=k))^2 - { Σ P(X=k) E(Y|X=k) }^2
= Σ P(X=k) V(Y|X=k) + E((E(Y|X))^2) - {E(E(Y|X))}^2
= E( V(Y|X) ) + V( E(Y|X) )
かなあ・・・。（以上 Σ は k について加算）