期待値

質問

確率変数Xは次の幾何分布に従う。
P{X=x}=p(1-p)^x　(x=0，1，2，3，…)
このとき期待値E[Σλ^k]　(λは定数)を求めよ。
Σ記号はk=0からXまでの和です。

私が考えてやってみたところ
まずE[X]を
E[X]=Σxp(1-p)^x=(1-p)/p
なので
E[Σλ^k]=1+λ+λ^2+λ^3+……+λ^{(1-p)/p}
={1-λ^(1/p)}/(1-λ)
となったのですが、解答には1/{1-λ(1-p)}と書いてありました。(解説はなし)
どうしてこうなるのでしょうか？教えて下さい。

回答No.1

keyguy · ベストアンサー

Ｅ［Σ（ｋ＝０～Ｘ）・λ＾ｋ］＝
Ｅ［１－λ＾（Ｘ＋１）］／（１－λ）＝
Σ（ｎ＝０～∞）・（１－λ＾（ｎ＋１））・（１－ｐ）＾ｎ・ｐ／（１－λ）
です。
後は公比０以上１未満の等比級数の和を知っていれば明白。

お礼

解決しました。
何度も答えてくださり、どうもありがとうございます