確率：条件付期待値

質問

全く、条件付期待値というのでしょうか？そこが分かりません。もし宜しければ、ご教授ください。
問題：
N(1)を2005年度における有効な規則の数とします。
M(1)を2005年度において有効な規則、且次の年も有効な規則の数とします。
よってN(2)=M(1)+A(2), A(2)は新しい規則です。
E[N(1)]=m, Var[N(1)]=s^2, 次の年に規則が有効になる確率はp. q=1-p
M(1)とA(2)は独立で、A(2)～Poi(λ). N(1)=nとし、M(2)～(n,p).

上記のような問題がある場合、次のことを計算します。
(1)E[N(2)]=E[M(1)]+E[A(2)]=mp + λ
(2)E[M(2)]=E[E[M(2)|N(1)]]=E[N(1) p] = pE[N(1)]=mp
(3)Var[N(2)]=Var[M(2)]+Var[A(2)]=Var[M(2)]+λ
(4)Var[M(2)|N(1)=n]=npq
(5)E[M(2)^2|N(1)=n]=npq + (np)^2
(6)E[M(2)^2]=E[N(1)]pq + E[N(1)^2]p^2=mqp+(m^2+s^2)p^2

質問：この(2),(4),(6)が全く分かりません。宜しければ、少し詳しく教えてください。

回答No.2

inqstv · ベストアンサー

>ただ、（２）においては、E[E[M(2)|N(1)]]=E[N(1) p]の部分が分からず、困っています。
E(X|Y=y)=f(y)ならば、E(X|Y)=f(Y)
という定理（ないし公式）がここでは使われていますが、この定理（ないし公式）はご存知でしょうか。

>(4)に関しては、分散がnpqとなるのはわかるのですが、なぜVar[M(2)|N(1)=n]=npqとする必要があるのでしょうか？つまり、Var[M(2)]=npq でもいいのではないのか？と考えてしまいます。
「N(1)=nならば、M(2)～Bin(n,p)」であるだけなので、N(1)=nとは言えず、したがってM(2)～Bin(n,p)とも言えず、Var[M(2)]=npqは言えません。ちなみに、V(X)=V(E(X|Y))+E(V(X|Y))という一般定理を使うと、
Var[M(2)]=V(E(M(2)|N(1)))+E(V(M(2)|N(1)))
=V(N(1)p)+E(N(1)pq)=(sp)^2+mpq
となるはずです。

お礼

有難うございました。大変参考になり、理解することができました。

回答No.1

inqstv

おそらくもともとの問題文のせいでしょうが、ご質問の内容にはわかりにくい点がいくつもあります。ただ、なかなか回答が得られていないようなので、少しお手伝いをしましょう。
まず、最低限、次のことを確認したいと思います。
問題の条件の最後にある「N(1)=nとし、M(2)～(n,p). 」というのは、
N(1)=nならば、M(2)～Bin(n,p)
ということですね（Bin(n,p)は二項分布を意味します）。

あとは、以下の点を指摘しておきます。
(i)条件付期待値に関する次の定理（ないし公式）はご存知でしょうか（(2)と(6)ではこれが用いられています）。
「任意の確率変数XとYについて、E(X)＝E(E(X|Y))」
(ii)二項分布Bin(n,p)の分散がnpqであることはご存知でしょうか（(4)はこれを用いています）。

お礼

ご回答有難うございます、且返答が遅れて申し訳ございません。
N(1)=nならば、M(2)～Bin(n,p)ということで間違いありません。
問題の部分ですが、ご指摘された(i),(ii)に関しては理解しているつもりです。ただ、（２）においては、E[E[M(2)|N(1)]]=E[N(1) p]の部分が分からず、困っています。(4)に関しては、分散がnpqとなるのはわかるのですが、なぜVar[M(2)|N(1)=n]=npqとする必要があるのでしょうか？つまり、Var[M(2)]=npq でもいいのではないのか？と考えてしまいます。もし、宜しければ、もう一度ご教授ください。よろしくお願いします。