確率論、条件付期待値、ポアソン

質問

混合ポアソン
Nは平均Aをもつポアソンで、Aはランダム数。
そこで下記の式がどうしてそうなるのかが分かりません。
E[N] = E(A)[ E[N | A] ] = E[A]
E[N^2] = E(A)[ E[N^2 | A] ] = E[A^2 + A]

この式の中で、(A)が何かしらの影響を与えてるのでしょうか？
マルチンゲールなんかを使ってるのでしょうか？全くこの式が成り立つ意味が分かりません。ご教授ください。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

Aが与えられたときのNの条件つき分布がポアソン分布

　p(N|A) = exp(-A) A^N /N!

に従い、Aの分布密度関数をg(A)とします。するとNの分布は

　p(N) = ∫(exp(-A) A^N /N!)g(A)dA

なので
　E[N] = ΣN p(N) = Σ∫(N exp(-A) A^N /N!)g(A)dA
　E[N^2] = ΣN^2 p(N) = Σ∫(N^2 exp(-A) A^N /N!)g(A)dA

和と積分の順序を交換するとポアソン分布の平均はA、分散は(A^2+A)なので
　E[N] = ∫A g(A)dA = E[A]
　E[N^2] = ∫(A^2 +A)g(A)dA = E[A^2+A]