期待値の問題

質問

期待値の問題です

袋の中に(s+k)個の玉が入っており、そのうちs個には0、k個には1という数字が書いてある。この袋の中から1個の玉を取り出し、次にこれを戻さずにもう1個の玉を取り出すとき、最初の玉の数字をX、2番目の玉の数字をYとする。このとき、X、Yの期待値E(x)、E(Y)を求めよ。

このような問題で、答えは
E(x)=E(Y)=k/(s+k)
だそうです。
E(x)=k/(s+k)は自分でも求まったので分かりますが、E(Y)もこのようになるのが納得できません。E(Y)は{(s+k-1)個の玉の中から選ぶ確率}×1と考えれば分母がs+k-1となるような答えが出てくるのではないのでしょうか

どなたか教えてください。よろしくお願いします！！

回答を読ませていただいて納得した時点でその方をBAとしたいと思います。

回答No.4

chie65536（@chie65535） · ベストアンサー

追記の追記。

＞E(Y)は{(s+k-1)個の玉の中から選ぶ確率}×1と考えれば分母がs+k-1となるような答えが出てくるのではないのでしょうか

当方が示した式

=(k/(s+k-1))×(s/(s+k))＋((k-1)/(s+k-1))×(k/(s+k))

には、ちゃんと「分母がs+k-1となるような」計算式がありますよね？

整理しちゃうと「k/(s+k)」になっちゃうので、質問者さんは「あれ？そんな筈はない」と思ったでしょうけど、式を整理する前には質問者さんの考えた通り「分母にs+k-1が居る」ので、これで納得できた筈です。

お礼

なるほどです 納得できました

みなさんありがとうございます！！

回答No.5

theisman

数式はNo.3の方の通りです。

ただ、これって単純なくじ引きと一緒の話ですよ。s本のハズレくじとk本の当たりくじが有り、
その中から最初にXさんが一本引いて(引いた後当たり外れは見ないで)、次にYさんが一本引き
ました。そのあと二人同時に「せーの」で当たり外れを見ます、ってことですから。

これでE(X)とE(Y)が違ってたら、当然高い方を引きたくなるでしょう。

１個目、2個目に限らず最後((s+k)個目)まで、期待値が同じでなかったら、くじが公平に
なりません。

回答No.3

chie65536（@chie65535）

追記。

E(y)の式は

=(k/(s+k-1))×(s/(s+k))＋((k-1)/(s+k-1))×(k/(s+k))

になります。この式を整理すると

=(k/(s+k-1))×(s/(s+k))＋((k-1)/(s+k-1))×(k/(s+k))
=(k×s)/((s+k-1)(s+k))＋k(k-1)/((s+k-1)(s+k))
=((k×s)+k(k-1))/((s+k-1)(s+k))
=k(s+(k-1))/((s+k-1)(s+k))
=k(s+k-1)/((s+k-1)(s+k))
=k/(s+k)

になります。

回答No.2

chie65536（@chie65535）

sが1個、kが４個で計算してみよう。

・１個目Xの期待値

５個のうち１個に0、４個に１と書いてあるので、期待値は4/5。

・２個目Yの期待値

(1)１個目に０と書いてある玉を取った場合

残りはすべてどれも「1」と書いてあるので、期待値は1。

(2)１個目に1と書いてある玉を取った場合

残りは、１個に「０」、３個に「１」と書いてあるので、期待値は3/4。

(1)が起きるのは1/5の確率、(2)が起きるのは4/5の確率だから、全体の期待値は「(1)の期待値×(1)の確率＋(2)の期待値×(2)の確率」になる。

計算すると

1×(1/5)+(3/4)×(4/5)＝1/5+(12/20）＝1/5+3/5＝4/5

で、4/5になる。

結果、どっちも4/5で、E(x)＝E(y)＝k/(s+k)は正しい。

玉を戻さないのだから「１個目でどっちを取ったか？」によって２個目の結果が変わる事に着目しよう。

回答No.1

Tacosan

1個目にどちらを取り出すかによって 2個目の確率が変わることは理解できますか?