連続の場合の期待値の線形性の証明

質問

こんにちは。

大学の確率論の講義で出た問題なのですが、色々と調べてみてもいまいち理解が出来なかったのでこちらで質問させていただきます。

２つの互いに独立な連続確率変数XおよびY、それぞれの確率分布の確率密度関数をf(x)およびg(y)と書く、この時、以下の関係を示せ。

(1) E[X+Y] = E[X] + E[Y]

(2) V[X+Y] = V[X] + V[Y]

(3) a，bを任意の定数として、E[aX+b] = aE[X] + b

(4) aを任意の定数として、V[aX] = (a^2)*V[X]

　　　　　∞
E[X] = ∫xf(x)dx
　　　　 -∞
なので
　　　　　　 ∞
E[X+Y] = ∫(x+y)f(x)g(y)dxdy
　　　　　　-∞
にでもなるのか予想したですが、このあとどのようにしていけばよいのかわかりません。(そもそも上の式が違うとは思うのですが)

(1)を理解して解ければ(2)以降も解けるとは思うのですが、念のため問題は載せておきます。

どうかよろしくお願いします。

回答No.3

Tacosan

その「余計な部分」とはなんですか?

実は「何らかの事情」で「余計な部分」が消えるかもしれませんよ.

お礼

他の方に詳しい解説をいただいたので解くことが出来ました。
せっかく回答していだたいたところ申し訳ありませんが、質問を締め切らせていただきます。
回答ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

いや, それでちゃんともっていけます.

x の積分と y の積分を分離してください.

補足

重積分が苦手でして、分離して計算が出来ません。
無理矢理解いてみても、
E[X]やE[Y]に余計な部分が付いてきてしまいます。
のように余計な部分が付いてきてしまいます。

回答No.1

Tacosan

E[X+Y] を計算するときには x, y の両方で積分しなきゃならないってことはいいですか? それがよければ, 「単に積分するだけ」です. 「和の積分」は「積分の和」ですよね.

補足

ということは
(積分区間表記は省略します)

E[X+Y] = ∬(x+y)f(x)g(y)dxdy
　　　　 = ∬xf(x)g(y)dxdy + ∬yf(x)g(y)dxdy

となるのでしょうか？
しかし、これだとE[X] + E[Y]に辿り着かないと思うのですが……