条件付期待値

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3207900.html

現在の質問内容が上記URLの表題の質問と大幅に異なってしまっているので、一度締め切って再度質問を立てさせていただきます。

回答者さま#3のお礼欄に記してある、確率変数Y2およびY3の条件付期待値の計算を伺いたいと思っています。詳しくは上記URLをご参照くださいませ。

回答No.1

tinantum

正しい条件付確率は
P(Y2=y2,Y3=y3|Y1=y1)=(ny2+ny3)!/(ny2)!(ny3)!*{p2/(p2+p3)}^(ny2)*{p3/(p2+p3)}^(ny3)δ_{n-ny1,ny2+ny3}
= (m)!/(ny2)!(ny3)! (q2^{ny2})(q3^{ny3}) δ_{m,ny2+ny3}
とまとめて書くとわかりやすいですね．ここで，
m= n-ny1
q2= p2/(p2+p3)
q3= p3/(p2+p3)
としました（q2,q3≧0,q2+q3=1なので，これは確率分布になってます）．また，y2,y3は0,1/n,2/n,…n/nを動きますが，δ_{m,ny2+ny3}があるために（Y1=y1という条件があるために），y2もy3も，m=n-ny1より大きな値では確率は０になることに注意してください（後で和を取る際に，y2,y3の和がm/nまでになっているのはそのためです）．

Y1=y1という条件の下，Y2に関する期待値を求めるには
E(Y2 | Y1=y1) = Σ_{y2,y3=0,1/n,…,m/n} y2 P(Y2=y2,Y3=y3|Y1=y1)
を計算すればよいです．
これは２項分布の期待値の計算ですので，計算できます．
実際やると
E(Y2 | Y1=y1)
= Σ_{y2,y3=0,1/n,…,m/n} y2 (m)!/(ny2)!(ny3)! (q2^{ny2}) (q3^{ny3})δ_{m,ny2+ny3}
= Σ_{x2=1,…,m},Σ_{x3=0,1,…,m-1} x2/n (m)!/(x2)!(x3)! q2^x2 q3^x3 δ_{m,x2+x3} （∵ (a) ）
= Σ_{x2=1,…,m},Σ_{x3=0,1,…,m-1} 1/n (m)!/(x2-1)!(x3)! q2^x2 q3^x3 δ_{m,x2+x3}
= mq2/n Σ_{x2'=0,…,m-1},Σ_{x3=0,1,…,m-1} (m-1)!/(x2')!(x3)!*{q2}^{x2'} * {q3}^x3 δ_{m-1,x2'+x3} （∵ (b) ）
= mq2/n (q2+q3)^{m-1} (∵ (c))
= mq2/n
= (n-ny1)/n * p2/(p2+p3)

(a) x2=ny2,x3=ny3の変数変換をした．また，x2の和は0からでなく1からとしてよい．なぜならば和の中身がx2に比例しているので，0のときは消えるから．また，x3の和はmまででなく，m-1までとしてよい．なぜならば,x2が1以上の和となっているため，δ_{m,x2+x3}のおかけで，x3=mのときは0になることがわかるから．
(b) x2' = x2-1という変数変換をした．
(c) 一般に (a+b)^m = Σ_{r,s=1,…,m}n!/r!s! a^n b^s δ_{m,r+s}

Y3の期待値も同様に求められますね．

さらに，分散（標準偏差）も求めるとよいと思います．