分散について

質問

以下のような問題があります。

問題
「正規分布(μ1,σ1^2)に従う確率変数x1と、
正規分布(μ2,σ2^2)に従う確率変数x2の積
y=x1・x2の分散V(y)をμ1,μ2,σ1,σ2で表せ」

この問題を解きたいのですが、つまってしまいました。
とりあえず、
V(y)=V(x1・x2)
=E((x1・x2)^2)+E(x1・x2)^2

とすすめていくと思うのですが…。
答えの導き方を教えてくださいm(_ _)m

回答No.3

nubou · ベストアンサー

ｘを実数としｘ＜０ならばｈ（ｘ）＝０とし０＜ｘならばｈ（ｘ）＝１とし
∫の範囲は表記していない場合－∞～∞とし
ｘ１の密度関数をｐ１（ｘ１）としｘ２の密度関数をｐ２（ｘ２）とし
ｙの分布関数をＦ（ｙ）としｙの密度関数をＰ（ｙ）とし
ｙの平均をＥ（ｙ）とすると
Ｆ（ｙ）＝∫∫（ｘ１・ｘ２＜ｙ）ｄｘ１・ｄｘ２・ｐ１（ｘ１）・ｐ２（ｘ２）
＝∫∫ｄｘ１・ｄｘ２・ｐ１（ｘ１）・ｐ２（ｘ２）・ｈ（ｙ－ｘ１・ｘ２）
上式の両辺をそれぞれ微分して
Ｐ（ｙ）＝∫∫ｄｘ１・ｄｘ２・ｐ１（ｘ１）・ｐ２（ｘ２）・δ（ｙ－ｘ１・ｘ２）
従って
Ｅ（ｙ）＝∫ｄｙ・ｙ・Ｐ（ｙ）＝
∫∫∫ｄｘ１・ｄｘ２・ｄｙ・ｐ１（ｘ１）・ｐ２（ｘ２）・ｙ・δ（ｙ－ｘ１・ｘ２）＝
∫∫ｄｘ１・ｄｘ２・ｐ１（ｘ１）・ｐ２（ｘ２）・ｘ１・ｘ２＝
∫ｄｘ１・ｘ１・ｐ１（ｘ１）・∫ｄｘ２・ｘ２・ｐ２（ｘ２）＝
μ１・μ２
従って
Ｖ（ｙ）＝∫ｄｙ・（ｙ－Ｅ（ｙ））＾２・Ｐ（ｙ）＝
∫∫∫ｄｘ１・ｄｘ２・ｄｙ・ｐ１（ｘ１）・ｐ２（ｘ２）・（ｙ－Ｅ（ｙ））＾２・δ（ｙ－ｘ１・ｘ２）＝
∫∫ｄｘ１・ｄｘ２・ｐ１（ｘ１）・ｐ２（ｘ２）・（ｘ１・ｘ２－μ１・μ２）＾２＝
∫∫ｄｘ１・ｄｘ２・ｐ１（ｘ１）・ｐ２（ｘ２）・ｘ１＾２・ｘ２＾２－μ１＾２・μ２＾２＝
∫ｄｘ１・ｐ１（ｘ１）・ｘ１＾２・∫ｄｘ２・ｐ２（ｘ２）・ｘ２＾２－μ１＾２・μ２＾２＝（σ１＾２＋μ１＾２）・（σ２＾２＋μ２＾２）－μ１＾２・μ２＾２＝
σ１＾２・σ＾２＋σ１＾２・μ２＾２＋σ２＾２・μ１＾２

なお
（ｄ／ｄｘ）・ｈ（ｘ）＝δ（ｘ）
と
ｐ（ｘ）＝ｅｘｐ（－（ｘ－μ）＾２／２／σ＾２）／√（２・π）／σとしたとき
∫ｄｘ・ｘ＾２・ｐ（ｘ）＝
∫ｄｘ・ｘ＾２・ｅｘｐ（－（ｘ－μ）＾２／２／σ＾２）／√（２・π）／σ＝
∫ｄｙ・（ｙ＋μ）＾２・ｅｘｐ（－ｙ＾２／２／σ＾２）／√（２・π）／σ＝
∫ｄｙ・ｙ＾２・ｅｘｐ（－ｙ＾２／２／σ＾２）／√（２・π）／σ＋μ＾２＝
σ＾２＋μ＾２
であることを使った

お礼

長い式を打つのは大変だったと思います。
ありがとうございますm(_ _)m
おかげでだいぶ理解できました。
また自分で計算しなおしてみます。

回答No.2

nubou

ｘ１の密度関数をｐ１（ｘ１）としｘ２の密度関数をｐ２（ｘ２）とし

回答No.1

nubou

ｘ１の密度関数をＰ１（ｘ１）としｘ２の分布関数をＰ２（ｘ２）とし
ｙの分布関数をＦ（ｙ）としｙの密度関数をＰ（ｙ）とし
ｙの平均をＥ（ｙ）とすると
Ｆ（ｙ）＝∫∫ｄｘ１・ｄｘ２・ｐ１（ｘ１）・ｐ２（ｘ２）・ｈ（ｙ－ｘ１・ｘ２）
従って
Ｐ（ｙ）＝∫∫ｄｘ１・ｄｘ２・ｐ１（ｘ１）・ｐ２（ｘ２）・δ（ｙ－ｘ１・ｘ２）
従って
Ｅ（ｙ）＝
∫∫∫ｄｘ１・ｄｘ２・ｄｙ・ｐ１（ｘ１）・ｐ２（ｘ２）・ｙ・δ（ｙ－ｘ１・ｘ２）＝
∫∫∫ｄｘ１・ｄｘ２・ｄｙ・ｐ１（ｘ１）・ｐ２（ｘ２）・ｘ１・ｘ２＝
μ１・μ２
従って
Ｖ（ｙ）＝
∫∫∫ｄｘ１・ｄｘ２・ｄｙ・ｐ１（ｘ１）・ｐ２（ｘ２）・（ｙ－Ｅ（ｙ））＾２・δ（ｙ－ｘ１・ｘ２）＝
∫∫ｄｘ１・ｄｘ２・ｐ１（ｘ１）・ｐ２（ｘ２）・（ｘ１・ｘ２－μ１・μ２）＾２＝
∫∫ｄｘ１・ｄｘ２・ｐ１（ｘ１）・ｐ２（ｘ２）・ｘ１＾２・ｘ２＾２－μ１＾２・μ２＾２＝
∫ｄｘ１・ｐ１（ｘ１）・ｘ１＾２・∫ｄｘ２・ｐ２（ｘ２）・ｘ２＾２－μ１＾２・μ２＾２＝（σ１＾２＋μ１＾２）・（σ２＾２＋μ２＾２）－μ１＾２・μ２＾２＝
σ１＾２・σ＾２＋σ１＾２・μ２＾２＋σ２＾２・μ１＾２

補足

回答ありがとうございます。
しかし
ｈ（ｙ－ｘ１・ｘ２）
δ（ｙ－ｘ１・ｘ２）
の部分が分かりません。もしよろしければ
お教えくださいm(_ _)m