共分散について

質問

分散が 1 の確率変数 X，Y の共分散を Cov[X, Y] とするとき、

Cov[aX + Y, X - aY] = 0

となる条件を求めよ。

という問題があるのですが・・・・これは Cov[X, Y] に関して X，Y が独立の場合は

Cov[X, Y] = E[X, Y] - E[X]E[Y] = 0 ---- (*)

となることを用いて、与式の (aX + Y) と (X - aY) が独立であるということを示せばよいのでしょうか？

また、結局 a の値が 0 のときは (*) と等しくなるので、 a = 0 というのも条件となるのでしょうか？

そのほか、別の解法もあるかもしれませんが・・・・回答よろしくお願いしますm(__)m

回答No.2

jamf0421 · ベストアンサー

題意はXとYの分散が１の条件のもとに与えられた共分散の式がゼロになる条件を示せということですね。題意の通り正攻法でやるべきと思います。
分散が１とは平均値をXの平均をμ、Yの平均をνとしたときに
E[(X-μ)^2]=1, E[(Y-ν)^2]=1......(1)
ということですね。即ち、
E[X^2]-μ^2=1, E[Y^2]-ν^2=1......(2)
ですね。
XとYの共分散とはE[(X-μ)(Y-ν)]ですから、問題とする式は
E[(aX+Y-aμ-ν)(X-aY-μ+aν)]=0......(3)
となる条件ですね。あとはこれをバラバラにして、(2)を使えばでるはずです。簡単な式になりますよ。

お礼

なるほど・・・・
分かりました！そのような方法で解いてみようと思います。

丁寧な回答、ありがとうございました！

回答No.1

guuman

XとYが独立であるとはどういうことが書いてみよ