半群の証明

質問

こんばんは。来週にテストがあるため勉強をしているのですが、問題集に「次は半群となるかどうか調べよ」という以下のような３つの問いがありまして、解いてみたのですが正しいでしょうか？結合法則を満たすかどうか調べました。問１も問２，３と同じような解答ができましたら、そちらもお答えいただけると幸いです。
ご回答お願いいたします。

問１）Ｓ＝負の数全体の集合、 ａ○ｂ＝ａｂ （通常の積）

解答）ａ○ｂはSには属さないため、○はS上の二項演算ではない。
　　　よって半群にはならない。

問２）Ｓ＝Ｎ、　ａ○ｂ＝ＧＣＤ（ａ、ｂ）　（ａ、ｂの最大公約数）

解答）GCD(GCD(a，b)，c)=GCD(a，GCD(b，c))

　　　GCD(GCD(a，b)，c)
　　＝GCD(GCD(b，c)，a)
　　＝GCD(a，GCD(b，c))

　　　（ａ○ｂ）○ｃ＝ａ○（ｂ○ｃ）
　　　よって半群となる。

問３）Ｓ＝Ｒ，　a○ｂ＝ｍｉｎ｛ａ，ｂ｝　（ａ、ｂのうちの小さい方）

解答）min｛min｛a,ｂ｝,ｃ｝＝min｛a,min{c,ｂ}｝

　　　min｛min｛a,ｂ｝，c｝
　　＝min｛min｛b,ｃ｝,ａ｝
　　＝min｛a,min｛c,ｂ｝

　　　（ａ○ｂ）○ｃ＝ａ○（ｂ○ｃ）
　　　よって半群となる。

回答No.1

koko_u_u · ベストアンサー

問２、問３の解答は証明になってないと思う。

数式だけ書いて、論証は採点者任せですむのは高校生までです。

お礼

ご回答ありがとうございました！参考にさせていただきます＾＾