郡の問題

質問

何問かあるのですが、全然分からないので、分かる方がいたらぜひ協力してください。

＜1＞正多面体って5個しかないみたいなんですが、本当でしょうか？証明が分かる方はぜひ教えてください。

＜2＞1の続きみたいなものですが、正六面体郡を示し方を教えてください。

＜3＞Ｒにa*b=ab-a-b+2で演算を定義しても、Ｒは郡にはならないみたいなんですが、Ｒから一元を除けば郡になるらしんですが、どう証明したらいいんでしょうか？

＜4＞4つの元からなる集合Ｇ＝｛e,a,b,c｝が演算*で郡になり単位元をeとします。このとき、a*a=b*b=c*c=eになる場合とa*a=bになる場合についてそれぞれ他の演算の結果はどうなるんでしょうか？

回答No.1

liar_adan · ベストアンサー

まず、基本的なこととして、「郡」ではなく、「群」ですね。

(1)正多面体であるためには、「一種類の正多角形でできている」の他に、
「頂点の構成が同じ」ことが要求されます。
たとえば、正二十面体の上と下を切り取ってつなげ、
十面体を作ることができますが、
これは三角形五つの頂点と三角形四つの頂点が混在しているので、
正多面体になりません。

ひとつの頂点に集まる多角形の頂点の角は、
全部足して360°以下でなければなりません。
また、ひとつの頂点には3つ以上の多角形が必要です。

これを踏まえて考えてみると、まず
「使える正多角形は、正5角形以下」がわかります。
それ以上だと、最低数の3つで、360度を上回ってしまいます。
正三角形～正五角形のうちで、ひとつの頂点に集まる多角形の
可能な数を調べると、
正三角形：3つ(正四面体)。4つ(正八面体)。5つ(正二十面体)。
正四角形：3つ(正六面体)。
正五角形：3つ(正十二面体)。
が求められます。これが可能な正多角形のすべてです。

(2)正六面体の回転群ですね…。構造はわかるのですが、
示し方はわかりません。

(3)この演算では結合律が満たされないので群にならないと思います。
式に書き間違いはありませんか？

(4)これは、{e, a, b, c}の各元が異なるというのがミソです。
(前者)a*a = eより、a = 1/a(←逆元)
ここでa*bを考えると、
a*b = aとすると、b = eとなり矛盾。
a*b = bとすると、a = eとなり矛盾。
a*b = eとすると、b = 1/a = aとなり矛盾。
よって、a*b = cとしかならない。
同様にして、b*a = cや、その他の演算結果も導き出せる。
後者も考え方は同じです。

お礼

たしかに「郡」ではなく「群」ですね。すいません間違えました。

（1）については、なるほど、頂点の角度の和を考えるんですね。

（3）この問題はがんばってみたら、なんとか解けました。
(a*b)*c=(a*b)c-(a*b)-c+2
=(ab-a-b+2)c-(ab-a-b+2)-c+2
=abc-ac-bc+2c-ab+a+b-2-c+2
=a(bc-b-c+2)-a-(bc-b-c+2)+2
=a(b*c)-a-(b*c)+2
=a*(b*c)
となり結合法則は言えますよ。
ちなみに、問題を解くと、逆元を求める時に、
a*bのbをaの逆元として、式を解くと、
b=(a-2)/(a-1)になり、a=1、の時不適になります。
よって、除く一元は｛1｝ということになります。

（4）やり方は理解できましたが、a*a=bの方（後者）のa*b=eの矛盾が示せません。どうやってやるんでしょうか？

回答ありがとうございました。とても参考になりました。

回答No.2

noname#108554

<3>ですが、結合律満たすと思いますよ。
(a*b)*c=a*(b*c)を示せばいいだけなので
なんら問題はないでしょう。

問題は、単位元の存在で、
任意のaに対し、a*e=aなるeを求めようとすると
1次方程式になりますが、その解が存在するためには
どうなればよいかを考えれば簡単です。

お礼

前の方のお礼にも書きましたが、なんとか解く事ができました。ありがとうございました。