初歩的な群の公理について

質問

群の公理を導出する問題で悩んでいます。
『群の公理に、

公理(１)　元の積が結合律を満たす。
公理(２)　集合Gの任意の元a,bに対して、ax＝b,およびya＝bとなるGの元x,yが存在して一意的である。

というのがあるが、いま、公理(２)を分解して、

公理(２‐１)　Gの中に単位元が存在する。(eは単位元で次が成立。ae＝ea＝a)
公理(２‐２)　Gの任意の元に対し逆元が存在する。(xは逆元で次が成立。ax＝xa＝e)

とした時、公理(１)、(２‐１)、(２‐２)から公理(２)を導け』という問題について考えています。

これは、公理(２‐２)の式、ax＝eについて右からbをかけて、
axb＝b
ここで　xb＝X　とすると
aX＝b　(ya＝bも同様にして)となり、公理(２)が導けたように思うのですが…でもこれだと公理(１)を用いておらず問題の意図に反している気がしてなりません。
私の考え方で誤っている点をご指摘していただきたいです。

回答No.3

Jyaikosan · ベストアンサー

aY＝bをみたすYがあれば、左からaの逆元xをかけて
x(aY)＝(xa)Y＝eY＝Y＝xb＝X
となりますから一意性も示されます。

お礼

おっしゃるとおりですね。＾＾；
なにからなにまで詳しいご解説、本当にありがとうございました！

回答No.2

Jyaikosan

＞ax＝eについて右からbをかけて、

左辺をいきなりaxb＝bとしないで

(ax)b＝b

としておいてから公理(１)を使って

(ax)b＝a(xb)＝b

としたら良いのではないかと思います。

お礼

なるほど、そのように表記したほうが公理をつかっていることが明瞭ですね。
問題に沿っていないのではないかというモヤモヤがとれました。
ありがとうございます。

補足

私の捉え方で間違ってはいないということでしょうか。
ですが私の考え方では、一意性の証明には足りていないのではないでしょうか？
ご指摘お願いします。

回答No.1

proto

＞公理(２‐２)の式、ax＝eについて右からbをかけて、
＞axb＝b
省略されていますが、右辺の変形において
　　axb = eb = b
は、(2-1)がなければ言えないのでは？

お礼

そうですね、(２‐１)も用いていますね。何気なく考えていました(汗)。
迅速なご指摘ありがとうございます！