群について。分からないところがあるのです。

質問

演算＋に対して、整数全体の集合は群を成すのですが、
単位元の存在から
x＋e=x＋e=xをみたすeが存在。(xは集合の元)
このときe=0となるわけですが、それでも単位元というのですか？
つまり0は単位元と。だいたい、単位元といえば1。乗法に対する整数全体の集合とすればe=1となってこれは単位元だろうと分かるのですが。e=0というのは？

回答No.2

koko_u_u · ベストアンサー

>x＋e=e＋x=xをみたすeが存在する。このときeは単位元でなく
>零元というのでは？

加群の場合は零元という表現もするでしょう。

注意すべきは、何を抽象化して考えているかです。
加群とは群の演算 φ: G x G -> G を「 a + b 」と表現するかどうか、だけなので、
群としてはなんら変わるものではありません。

加群に意味があるのは、例にある整数全体のように自身が環であったり、
加群上に何かの環や体が作用素として乗っかっている場合です。

お礼

ご説明丁寧にありがとうございました。群の意味が理解できました。

回答No.3

proto

「零元」というのが一般的だとは思いますが、「和の単位元」という呼び方もあるようですよ。
それに対して所謂"1"を明示的に「積の単位元」と呼ぶ呼び方もあるようです。

wikipediaでは、演算μと任意の元gにたいして
　　μ(e,g) = μ(g,e) = g
となる元eを単に「単位元」と呼んでいますね。
この場合のμが+ならばe=0でしょうし、μが*ならばe=1なのでしょう。

お礼

分かりやすい説明助かりました。群の意味が理解できました。
ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_u

演算の抽象化についていけてないのですね。
もう一度、群の定義を読んで「字句通り」に考えましょう。

>だいたい、単位元といえば1。
>乗法に対する整数全体の集合とすればe=1となってこれは単位元だろうと分かるのですが
そもそも整数全体の集合は乗法に関して群にはなっていません。

群の定義で「かけ算」のように書かれているものは、整数のかけ算とは別のものです。

補足

もっと分かりやすい説明がありましたので、こちらの方を参照してください。
x＋e=e＋x=xをみたすeが存在する。このときeは単位元でなく
零元というのでは？
すなわち零元の存在というのが一般的ではないのかと思いました。