数列の和

質問

Σ1/(k*(K+1)*(k*2))　の計算はどのようにやればいいのでしょう　　（K=1、N)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　か？？

またΣ1/(k*(k+1)*(k+2)*(k+3))
　　（k=1、N)
の計算はどのようにやればいいでしょうか？？
うまい方法がありましたら教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

分数を２つに分けることを考えます。たとえば、
1 / { k (k+1) (k+2) } = (1/2) [ 1/{k (k+1)} - 1/{ (k+1) (k+2) } ]
と分解できることを確認してください。このように分ける（通分の逆）ことを部分分数分解といいます。
すると、
Σ 1 / { k (k+1) (k+2) }
= (1/2) [ 1/(1・2・3) + 1/(2・3・4) + ... + 1/{ N (N+1) (N+2)} ]
= (1/2) [ 1/(1・2) - 1/(2・3) + 1/(2・3) - 1/(3・4) + ... + 1/{ N (N+1) - 1/{ (N+1) (N+2) } ]
= (1/2) [ 1/2 - 1/{ (N+1) (N+2) } ]
= N (N + 3) / { 4 (N+1) (N+2) }

1/{ k (k + 1) (k + 2) (k + 3) }
= (1/3) [ 1/{ k (k + 1) (k + 2) } - 1 / { (k + 1) (k + 2) (k + 3) } ]
ですので、こちらも同様に
Σ 1/{ k (k + 1) (k + 2) (k + 3) }
= (1/3) [ 1/6 - 1/{ (N+1) (N+2) (N+3) } ]
・・・
と計算できます。

お礼

返信ありがとうございます。丁寧に書いていただいて本当に理解しやすかったです☆
また何かありましたらお願いします。

回答No.3

arrysthmia

級数 Σa(k) を計算したい場合、
a(k) = s(k+1) - s(k) というように
各項を他の数列の階差として表すことができれば、
隣り合う s(k) が打ち消し合って
Σ[k=1…n] a(k) = s(n+1) - s(1) となります。
これは、常套手段です。

この問題も、
1/{ k(k+1)(k+2)(k+3) }
= (-1)/{ 3(k+1)(k+2)(k+3) } - (-1)/{ 3k(k+1)(k+2) }
に気が付けば
Σ[k=1…n] 1/{ k(k+1)(k+2)(k+3) }
= (-1)/{ 3(n+1)(n+2)(n+3) } - (-1)/{ 3*1*2*3 }
とわかります。

問題は、どうやって a(k) = s(k+1) - s(k) を見つけるか
なのですが、一般的な方法はないですね。
ヤマカンで s(k) を探す際のヒントになるのは、
a(k) から s(k) を求める操作は、積分に「似ている」
という事実です。積分そのものでは、ないのですが…

1/{ k(k+1)(k+2)(k+3) } は k の -4 次式みたいなもの
だから、Σ すると k の -3 次式みたいなものになるはず
と空想してみると、
1/{ (k+1)(k+2)(k+3) } - 1/{ k(k+1)(k+2) } を計算してみる
気持ちになるかもしれません。
そこから、差が a(k) になるように微調整すればよい。

お礼

回答ありがとうございます☆
よく理解できました。ヒントも教えていただいて助かりました。
また何かありましたらよろしくお願いします。

回答No.2

slimebess

1/{k(k+1)(k+2)(k+3)}
＝(1/3)[1/{k(k+1)(k+2)}-1/{(k+1)(k+2)(k+3)}]

∴Σ1/{k(k+1)(k+2)(k+3)}

＝(1/3)Σ[1/{k(k+1)(k+2)}-1/{(k+1)(k+2)(k+3)}]

＝(1/3)[{(1/1*2*3)-(1/2*3*4)}+{(1/2*3*4)-(1/3*4*5)}+…+{1/n(n+1)(n+2)-(1/(n+1)(n+2)(n+3))}]

消えるもの消せば、答えは出る。
あとは、この問題の本質（ポイント）を理解せよ。

お礼

返信ありがとうございます。
みなさんのおかげでよく理解できました。
またよろしくお願いします。