数列

質問

途中計算がよくわからないので、教えてください。
n
Σ 1/｛ｋ（k＋2)｝
k=1

です。
できれば、途中計算も詳しく教えていただきたいです。
お願いします。

答えは、
｛n(3n＋5｝/｛4(n＋1)（n＋2)｝

何回計算しても、答えが一致しなくて

回答No.4

kbannai

ポイントは

1/{k(k+2)} のところを部分分数とするところです。

例えば、わかりやすいのは 1/{k(k+1)}=(1/k) - 1/(k+1) と書けますよね。

それと同様にして、

1/{k(k+2)}＝(1/2)*{1/k - 1/(k+2)}となります。

したがって、

Σ 1/｛ｋ（k＋2)｝ ＝ (1/2)*{1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+……+1/(n-2)-1/n + 1/(n-1)- 1/(n+1) + 1/n -1/(n+2)}

となり、中かっこ{ } の中がきれいに消えてくれて、

n
Σ 1/｛ｋ（k＋2)｝ ＝ (1/2)*{1+1/2-1/(n+1)+ 1/(n+2)}
k=1

となり、もう少しこの式を整理すると、

n
Σ 1/｛ｋ（k＋2)｝ ＝ (1/2)*{1+1/2-1/(n+1)+ 1/(n+2)} …… (1)
k=1

＝{n(3n+5)}/{4(n+1)(n+2)}

となります。

(1)式の右辺の{ }の中を間違えないで計算してみてください。

回答No.3

noname#24477

回答は先の方のでいいと思いますが、

この計算で間違いやすいのは
すぐ隣と消えると思い込んでしまうこと。

２つ後ろと消しあいますからきちんと書いて見てください。

結局初めで２項、最後に２項残ります。

回答No.2

s99a137e2002

ちなみに答えはいくつになりましたか？
わたしは、{n(3n+5)}/{4(n+1)(n+2)}になりました。

計算の仕方は、k(k+2)を、(1/2)*[{1/k}-{1/(k+2)}]にすれば良いと思いますが・・・

最後に、1/2 をするのを忘れたのでは？

回答No.1

plini-

まず、分数を２つに分けます。
1/{k(k+2)}=x{1/k-1/(k+2)}
これを解くと
x=1/2
よって
1/{k(k+2)}={1/k-1/(k+2)}/2
n　　　　　　　n
Σ1/{k(k+2)}=Σ{1/k-1/(k+2)}/2
k=1　　　　　k=1
　　　n
=1/2Σ{1/k-1/(k+2)}
　　k=1
=1/2[(1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)+…+{1/(n-2)-1/n}+{1/(n-1)-1/(n+1)}+{1/n-1/(n+2)}

=1/2{1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)}
=1/2{3/2-(2n+3)/{(n+1)(n+2)}
=1/2{(3n^2+5n)/{2(n+1)(n+2)}
={n(3n+5)}/{4(n+1)(n+2)}
となります。