数列の和

質問

数列の和の極限を求める問題なのですが、
規則性がなかなか見つけられません。

Sn=Σ[k=1,n](k+1)/(k+2)!

やってみた方法としては、
(k+1)/(k+2)!=(k+1)/(k+2)(k+1)k(k-1)…
　　　　　　=1/(k+2)k(k-1)…
　　　　　　=1/(k+2)k!

ここで、1/(k+2)k!=a/(k+2)+b/k!とし、
これを解くと
{ak!+b(k+2)}/(k+2)k!
b=1/2　となりました。

しかし、この後bを代入して計算しようとしたらつまづいてしまいました。

他に解き方があるのでしょうか？
教えて頂けたら幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.1

tarame · ベストアンサー

数列の和の極限を求める問題の規則性ですが
(k+1)/(k+2)!＝a[k]－a[k+1]の形を作ることを考えましょう。
例えば
1/(k+1)(k+2)の場合は、1/(k+1)－1/(k+2)と式変形しますよね。
すなわち、a[k]＝1/(k+1)となります。

さて、この問題の場合の　a[k]ですが、
emi1976さんのやり方ではうまくいきませんね！
分母に注目して、a[k]＝a/(k+1)! とおいて見ましょう。

お礼

そのやり方も考えてみました。
たとえば、
1/k(k+1)=1/1*2+1/2*3…
　　　　=(1-1/2)+(1/2-1/3)+…
というよう問題でしたら、規則性を見つけやすいんですけど、階乗の場合どうしたらいいのかわからなくなってしまって…。

早速もう一度やってみます。
ありがとうございました。

補足

できました！！
もっと頭をやわらかく使えるよう、これからもがんばります。どうもありがとうございました。