微分方程式の問題

質問

y''+2y'+2y=0を解けって問題なんですが、
特性方程式により根が-1+i,-1-iで
y=C1*e^(-i+i)*x +C2*e^(-1-i)*xまではわかるんですが、

自分の持っている参考書にはこの次に
y=e^(-x) ( C1*COSX+C2*SINX)
ってなってます。この間にどんな処理をしたのでしょうか？
オイラーの公式を使ってみたんですができなかったです。
できれば、途中を解説してくださらないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

>オイラーの公式を使ってみたんですができなかったです。

Typoは修正して
y=C1*e^(-1+i)*x +C2*e^(-1-i)*x
=C1e^{-x}e^{ix} + C2 e^{-x} e^{-ix}
=e^{-x} ( C1 cos(x) + i C1 sin(x) + C2 cos(x) - i C2 sin(x) )
=e^{-x} ( (C1+C2) cos(x) + i (C1-C2) sin(x) )
C1，C2は任意であるから
C1+C2を新たにC1，
i (C1-C2)を新たにC2とおくことで
y= e^{-x} ( C1 cos(x) + C2 sin(x) )

積分定数の任意性を使って整理するのがコツです．

お礼

７行目までは、自分も変形していたんですが、そこでもう一度
積分定数を置きなおすんですね。わかりました。細かく書いていただいてありがとうございます。実にわかりやすかったです。

回答No.2

tono-todo

学校でやっているはずですが

exp(ix)=cos(x)+i*sin(x)

sin(x)の係数iは虚数単位です。

質問文中のＣ１及びＣ２は複素数でも可であることに留意下さい。

お礼

丁度引っかかってたところのヒントになりました。
ありがとうございます。