微分方程式の解き方

質問

こんにちは。

現在、問題集で微分方程式の勉強を行っているのですが、下記の問題の解き方が分からず困っています。

y'-y sinx = y^2e^cosx の一般解を求める。
一般解を求めたところ、c=x+esinx となったのですが正しいでしょうか？

y'=tany + x secy
変数変換を行うのだと思うのですが、secｙの計算方法が分かりません。

少しでもアドバイスを頂ければ幸いです。
よろしくお願い致します。

回答No.1

OurSQL · ベストアンサー

>>一般解を求めたところ、c=x+esinx となったのですが正しいでしょうか？
これって、y が消えていませんか？

ふつうに

u = 1／y

と置き換えて、

( du／dx ) + ( sin x ) * u = － e ^ cos x

と変形すれば、

y = 1／{ ( e ^ cos x ) ( c － x ) }

と求まります。

お礼

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ご回答ありがとうございます。

回答No.3

alice_44

因みに、右辺は部分積分で処理して、
y = arcsin(-x-1+Ce↑x).
C は積分定数。
arcsin の解釈は、前述の如く検討を要する。

お礼

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ご回答ありがとうございます。

回答No.2

alice_44

二問目 :
両辺に cos x を掛けて、
(y')(cos x) - (sin x) = x
と変形すれば、
(sin y)(e↑-x) = ∫x(e↑-x)dx
と積分できる。
y = の形に変形するには、
初期条件などに合わせて
y の値域を検討する必要があるが。

お礼

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ご回答ありがとうございます。