環Rの基本（∀a∈Rでpa＝aが成り立つ時ap＝a？）

質問

似たような質問ですみませんが、またよろしくお願いします。

【質問】
『環Rの乗法で単位元の存在を仮定していない時
∀a∈Rで
pa＝aを満たすp∈Rが存在するならそのpはap＝aも満たす。』
は正しいでしょうか？

私は満たさないような気がするのですが、
反例が見つけられません。
よろしくお願いします。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

>はい、ヤフーも利用しております。
「マルチポスト」と呼ばれる行為で一般にマナー違反とされます．
OKWaveだと「サイト内のマルチポスト」が
規約で明確に禁止されてますな

>すみません、両者の違いが分からないのですが・・・。
うお・・・こっちが勘違いしてました．
pa=a で単位元なので，そもそも単位元の話ですな

質問の答えじゃないですが，
大事な部分なので追記します．

ええっとですね
「任意のaに対して，あるpが存在して」
という場合は，pはaに対応して決まるので
一個でなくても構わないのに対して，
「あるpが存在して，任意のaに対して」
という場合は，pがあって，それを使うと
どんなaに対しても
という意味合いになるので話が変わるということです．

>『任意のaに対して，あるpが存在して
>　pa=aであるならばap=aである』のつもりで単位元の問題だと思っておりました。
私は質問文からは逆に
「「任意のaに対してpa=aを満たす」pが存在するならば ap=p である」
と読み取りました．
>∀a∈Rでpa＝aを満たすp∈Rが存在するならそのpはap＝aも満たす。
って書いてありますからね．

教科書で
単位元や逆元の定義を見直してみてください．
存在と任意の順番がきちんと区別されています．

お礼

再度の御回答どうもありがとうございます。

>「マルチポスト」と呼ばれる行為で一般にマナー違反とされます．
マルチポストは聞いたことがありましたが、意味を知りませんでした。
同じ質問を同時にいろんなところでするのはマナー違反だったのですね。すみませんでした。
ご指摘ありがとうございます。

実はこの回答を見る前に、早く答えが知りたくてもう1箇所に投稿してしまいました。すみません、以後気を付けます。

補足

ずっと調べておりまして
ようやく
『∀a,∃p;pa＝a⇒ap＝a』と
『∃p,∀a;pa＝a⇒ap＝a』の違いが分かりました。
全然違うものでびっくりしました。
おっしゃるとおり私は後者（単位元）のつもりで
前者の質問をしてました・・・。
ほんとに意味不明でした・・・。

∃、∀が全然分かっていませんでした。
お陰でとても勉強になりました。
どうもありがとうございます。

本題の質問の件ですが、
どうやら成り立たないというのは間違いないようです。

反例は「クラインの４元環」というのがあるみたいなのですが、
今勉強中です。

♯話は変わりますがkabaokabaさんはヤフーの方に回答を下さった方と同一の方でしょうか？

回答No.1

kabaokaba

とりあえず・・・文章が不明確で意味がとれません
＃なんかyahooでも同じような文面の質問をみかけますな

>∀a∈Rで
>pa＝aを満たすp∈Rが存在するならそのpはap＝aも満たす。

これは

任意のaに対して，あるpが存在して
pa=aであるならばap=aである

ということなのか

あるpが存在して，任意のaに対して
pa=aであるならばap=aである

なのか・・・前者であるならば「逆元の問題」ですし
後者であれば「単位元の問題」です．

補足

御回答どうもありがとうございます。

>任意のaに対して，あるpが存在して
>pa=aであるならばap=aである

>あるpが存在して，任意のaに対して
>pa=aであるならばap=aである

すみません、両者の違いが分からないのですが・・・。
私としては
『任意のaに対して，あるpが存在して
　pa=aであるならばap=aである』のつもりで単位元の問題だと思っておりました。

∃、∀の順序で変わってくることがあるのは一応知っているつもりなのですが、この場合の違いの区別がつきません。
できれば違いを教えて欲しいのですが。
よろしくお願いします。

>＃なんかyahooでも同じような文面の質問をみかけますな

はい、ヤフーも利用しております。
ヤフーのほうが利用人数が多いみたいなのですが、返信ができないので
こちらのほうが便利です。