イデアルの共通部分と積

質問

四月から代数幾何をやる準備で基礎を復習しているのですが、解けない問題があるので質問します。
Ｒは乗法の単位元１をもつ可換環。
Ａ,ＢはＲのイデアルで、Ａ＋Ｂ＝（１）とする。
このとき、任意の自然数ｍ,ｎに対して Ａ^m ∩ Ｂ^n ＝ Ａ^m Ｂ^n は成り立ちますか。
ｍ＝ｎ＝１のとき成り立つので、その系でしょうか。
ｍ,ｎと文字が２つあるので数学的帰納法では証明できず、反例も見つかりませんでした。

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

ANo.1の補足への回答です。

一挙にmn乗しても証明できますが、片方づつ処理する方が分かりやすいと思います。

1 = a +b の両辺をm乗して、適当なcで

　　1 = ( a +b )^m = a^m + bc

と表すことができます（2項展開で、a^mの項とそれ以外の項に分ける）。さらに、両辺をn乗して、適当なdで

　　1 = ( a +b )^(mn) = (a^m + bc)^n =( a^m)d +(bc)^n

となります。これによりA^m + B^n = (1) が分かります。

お礼

きちんと理解できました。ありがとうございました。

回答No.1

ramayana

Ａ＋Ｂ＝（１）なら、Ａ^m＋Ｂ^n＝（１）です。簡単に証明できます。

お礼

Ａ＋Ｂ＝（１）のとき、Ａ∩Ｂ＝ＡＢとＡ^m＋Ｂ^n＝（１）の２つが成り立つことを知っていれば、ただの系なんですね。
ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。
代数学のテストで、Ａ＋Ｂ＝（１）ならばＡ^2＋Ｂ^2＝（１）を示せという問題が出て、下のように証明しました。
∃a∈Ａ,∃b∈Ｂ such that a＋b＝１
１＝(a＋b)^3＝a^3＋3(a^2)b＋3a(b^2)＋b^3
ここで、a^3＋3(a^2)b∈Ａ^2, 3a(b^2)＋b^3∈Ｂ^2
よってＡ^2＋Ｂ^2∋１
これで正しいですか。
a＋bを2乗すると、2abがＡ^2とＢ^2のどちらの元にもならないので3乗しました。
一般にＡ^m＋Ｂ^n＝（１）を示す場合には、a＋bを何乗すればいいのか教えていただけないでしょうか。