行列の証明について（A～Aなど）

質問

2つのｎ次正方行列A,Bに対し、P^-1AP＝Bとなるような正則行列Pが存在するとき、A～Bで表すとして、
(1)A～A
(2)A～BならB～A
(3)『A～BかつB～C』ならA～C

(1)～(3)が成り立つ事を証明しなければいけないのですが、
そもそもA～Aの『～』の意味が理解できません。
例えば(1)の問題であれば
P^-1AP＝Aということなのかどうか。
もしP^-1AP＝Aということだとした場合に
左辺が対角化されているので右辺はAの固有値を含む行列になっていると思うのです。
Aの行列を
(a　b)
(c　d)
として（本当は１つの()の中にabcdを書きたいのですができないため()が２つになっています。）
Aの固有値がｘ、ｙとなれば右辺は
(ｘ　０)
(０　ｙ)のようになると思うので
P^-1AP＝Aという式は成り立たないと思いました。
しかし問題は成り立つ事を証明しろ、なので
僕の考え方が間違っていると思います。
この証明の正しい解き方を『～』の意味を含めご教授して頂けないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

incd · ベストアンサー

（１）A～Bの定義が、「P^(-1)AP＝Bとなるような正則行列Pが存在する」ということは、
「A～A」を証明するには、「P^(-1)AP＝A」を満たす適切なPを見つければ良い。この場合、単位行列でOKでしょうか。つまり、P＝Iにすると、
I^(-1)AI = A であるから、A～A。

（２）定義に従い、
　　A～B　
⇒　P^(-1)AP＝B となるPが存在。
⇒　A = PBP^(-1)
⇒　B～A。※ P(^-1)をPだと思う。

（３）A～B、B～Cより、
P^(-1)AP＝B となるPが存在、
Q^(-1)BQ＝C となるQが存在。
1つの目の式にQ^(-1)を前から、Qを後ろからかけると
Q(^-1)P^(-1)APQ＝Q(^-1)BQ
＝C
Q(^-1)P^(-1) は正則なので、A～Cも言える。

お礼

早々のご解説ありがとうございます。
『～』の意味がわかってすっきりしました。
わかりやすいご解説ありがとうございました。

回答No.3

mazoo

>>左辺が対角化されているので右辺はAの固有値を含む行列になっていると思うのです。

確かにAを対角化する時はP^-1APが対角行列になるようなPを
求めますが、今の場合はPは正則行列なら何でもいいので、
左辺は必ずしも対角化されてません。
Pとして単位行列Iを選べばA～Aが言えます。

(1),(2),(3)が成り立つような関係～を同値関係といいます。
同値関係について調べてみれば理解が深まるでしょう。

お礼

早々のご助言有難うございます。
最初から勘違いしていました。
同値関係について調べてみます。
有難うございました。

回答No.2

kumipapa

＞　P^-1AP＝Aということなのかどうか。
そういうこと。

＞　もしP^-1AP＝Aということだとした場合に左辺が対角化されているので・・・
違うでしょう。「対角化されている」とは誰も言っていません。ちょっと、おっちょこちょいな方？私と同じだ・・・。

どのような A に対しても、P = E （単位行列）とすると P^-1AP = A が成立しますから、A～A は任意の A で成立します。

(2) P^-1 A P = B ⇒ A = P B P^-1 , Q=P^-1とおけば、Q^-1 = P なので、A = Q^-1 B Q

(3)
P^-1 A P = B, Q^-1 B Q = C
⇒　Q^-1(P^-1 A P) Q = C　
⇒ (Q^-1 P^-1) A (P Q) = C
PQ = R とおくと、R^-1 = (PQ)^-1 = Q^-1 P^-1 より、
R-1 A R = C

お礼

早々のご解説ありがとうございます。
勘違い(対角化)一つがすごくでかかったみたいです。
わかりやすい解説ありがとうございました。