高１数学 ２次関数 不等式

質問

f(x)=x^2-2ax+2a+2 g(x)=x^2-(2a-3)x-6a で、どんなxに対しても「f(x)>0またはg(x)>0」が成り立つような値の範囲を求める問題がよくわかりません。範囲関係の問題が苦手です。
f(x)>0なら判別式D<0でいいんじゃないのと乱暴に考えてしまったのですが、解説を見たら細かく分けて考えないといけないのですね・・・

g(x)≦0であるxの値に対してf(x)>0となるaの値の範囲を求める・・・(1)
→ここがよくわかりません。

f(x)の軸がx=a,またg(x)=(x-2a)(x+3)よりx軸との共有点が2a,-3 から
a>2a(a<0）とa<2a(a>0)の場合で分けるのは(1)を前提とすれば納得できるのですが。
「または」だからg(x)>0 f(x)≦0の場合も考えないといけないのでは？

ご回答お願いします。

回答No.5

kumipapa

ふぁいなるあんさーです。

g(x) = (x + 3)(x - 2a) ＞ 0
を解くと、
x ＜ 2a, -3 ＜ x　（ 2a ＜ -3 （a ＜ -3/2）のとき）
x ＜ -3, 2a ＜ x　（ -3 ≦ 2a （a ≧ -3/2）のとき）
であるから、x がこの範囲にあるときは g(x)＞0 であり、問題の条件である「f(x)＞0 または g(x)＞0」を満たす。a の値が具体的に何であれ、とにかく x がこの範囲なら問題の条件を満たす。また、このとき、f(x) が正負どちらかを気にする必要はない。g(x)＞0 が保障されているのだから、f(x)≦0 でも f(x)＞0 でも、どちらでもよいのである。以上、紙面の都合上、問題の解説では省略されている。

g(x) ≦ 0 となるのは、x が
2a ≦ x ≦ -3 （2a ＜ -3 のとき）
-3 ≦ x ≦ 2a （-3 ≦ 2a のとき）
の範囲にあるときである。このとき、問題の条件「f(x)＞0 または g(x)＞0」を満足させるためには、このｘの定義域において f(x)＞0 でなければならない。なぜかっていうと、この範囲全域で g(x) ≦ 0 であることは分かっているから。
ということで、x がこの範囲にあるときは、f(x)＞0 になるように a の値の範囲を定めなければならない。詳細は問題の解説にゆずる。

問題は、「f(x)＞0 または g(x)＞0」であるから、g(x)＞0 となる x の範囲では f(x) の正負は気にする必要はなく、g(x)≦0 となる x の範囲でだけ f(x)＞0 となるようにすれば十分なのです。

回答No.4

Quattro99

> f(x)>0のときしか考えてないと思ったのですけどそこをわかりやすく教えてくれますか
f(x)>0のときを考えているのではなく、g(x)≦0のときを考えています。g(x)≦0のときにf(x)>0となるaの条件を考えているのです。g(x)≦0のときは常にf(x)>0であるなら、両方とも≦0になることはあり得ません。「g(x)≦0のときは常にf(x)>0である」に反しますから。
両方とも≦0になることがないなら、少なくともどちらかは>0ということですから、「f(x)>0またはg(x)>0」を満たすことになります。

回答No.3

Quattro99

問題の条件である「f(x)>0またはg(x)>0」とは簡単にいうと「両方とも0または負にはならない」ということです。(1)で両方とも0または負になる場合があり得るか考えてみてください。

また、aが(1)で求めた範囲のばあい、「g(x)≦0であるなら、f(x)>0である」は真です（これが真となるようにaの範囲を求めたのだから）。
この待遇を考えてみてください。

お礼

ありがとうございます
さっぱりわかりません

補足

f(x)>0のときしか考えてないと思ったのですけどそこをわかりやすく教えてくれますか
ずーーーーーーーと考えてるけどわかりません

回答No.2

kumipapa

落ち着いて考えましょう。

＞　g(x)>0 f(x)≦0の場合も考えないといけないのでは

なぜ f(x)≦0 でなければいけないんですか？

g(x)≦0 の範囲では、 f(x)＞0 でなければなりません。
g(x)＞0 の範囲では、・・・・自分で考えて。

お礼

ありがとうございます
しかしさっぱりわかりません

補足

g(x)＞0 の場合は解説を見ても全くのっていないのですが
x<－３,2a＜ｘですよね
そういう場合もf(x)>０になってしまうかれだめだってこと？
理由がわかりません
そのような条件が成立しなければ途中式や考え方で書かないといけないですよね
(2)の場合は成り立たない、みたいな？

回答No.1

koko_u_

>「または」だからg(x)>0 f(x)≦0の場合も考えないといけないのでは？
考えて下さい。やってみて分かることがきっとある。

お礼

ありがとうございます。
３、４時間ぐらい考えているんですけどどうにもわかりません。（頭悪い・・・）