三次関数

質問

関数ｆ（ｘ）＝ｘ^3－3/2（ａ＋１）ｘ＾2＋３ａｘ－１，ａを定数，ａ≠１，とする。このとき，ｘ軸と異なる２つの共有点をもつとき，ａの値を求めなさい。

この問題の解き方の詳細を教えていただきませんか。

解答は、±√２になるらしいですが、出なくて困ってます。
よろしくお願いいたします。

回答No.5

mister_moonlight

関数ｆ（ｘ）＝ｘ^3－3/2（ａ＋１）ｘ＾2＋３ａｘ－１　がｘ軸と異なる２つの共有点をもつと言う事は、グラフを書くと分かるだろうが、ｘ軸で接して　その他に1つ交点を持つ事を意味する。
ｘ軸で接するのは、極大値＝0、or、極小値＝0　の時。

したがって、ｆ´（ｘ）＝3(x-1)*(x-a)だから、ｆ（1）＝0、or、ｆ（a）＝0.
ｆ（1）＝0の時は、ａ＝1だから不適。
ｆ（a）＝0の時は、a＾3-3a＾2-2＝(a-1)*(a＾2-2a-2)＝0.　a-1≠0だから、a＾2-2a-2＝0を解くだけ。

＞解答は、±√２になるらしいですが

なりません、計算違いでしょう。

回答No.4

gohtraw

ｆ（ａ）＝０とおくと、ｆ（１）＝０なので、ｆ（ａ）は（ａ－１）を因数としてもちます。よって
ｆ（ａ）＝ー（ａ－１）（ａ＾２＋ｐａ－２）／２
と表され、これを展開して係数を比較するとｐ＝－２となります。よって
ｆ（ａ）＝ー（ａ－１）（ａ＾２－２ａ－２）／２
なので、ｆ（ａ）＝０を満たすａは１、１±√３　となります。あとはこれらのａの値を吟味すればｏｋです。

回答No.3

gohtraw

この問題の場合、ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフとｘ軸は一点で接し、一点で交わります。ｆ（ｘ）の導関数は
３ｘ＾２－３（ａ＋１）ｘ＋３ａ＝３（ｘ－１）（ｘ－ａ）
となりますが、もしｘ＝１のときにｙ＝ｆ（ｘ）のグラフとｘ軸が接するとすると
ｆ（１）＝１－３（ａ＋１）／２＋３ａー１
　　　　＝０
よりａ＝１となって題意に反し、ｘ＝ａのときに両者が接することが判ります。そこで
ｆ（ａ）＝０とおいてやるとａの三次方程式になるのでそれを解けばａの候補が求められます。

ここで、ａ＜１であるならばｆ（１）＜０でなくてはならず、ａ＞１であるならばｆ（１）＞０でなくてはならない（なぜそうなるかは、ｘ軸と一点で接し、一点で交わる三次関数のグラフを書いて考えて下さい）ことからａの値の絞り込みができます。

補足

f(a)=-1/2(a^3-3a^2+2)

までは分かりました・・・
このあとどうすればいいのでしょうか？？？

回答No.2

noname#185374

a = 1±√3　になりませんか？

（計算間違いしているかもしれませんが）

回答No.1

noname#224896

導関数を考えましょう．
単調増加ならば，ｘ軸との公転は１つのみです．
つまり，ｘ軸との交点が２つあるということは，極大値，極小値をもつということです．
ｆ ’（ｘ）＝０が必ず異なる２つの実解を持つということから，アプローチしてみましょう．
そのとき，極大値や極小値を持つ時の，ｘを代入すると，ｆ ’（ｘ）＝０となります．

頑張ってくださいね＾＾