二次関数・不等式の問題

質問

(問題)
xの実数係数の方程式ax^2＋2(a-4)x＋5a-8=0が、少なくとも一つの正の解をもつための
ａの範囲を求めよ。

(質問)
(1)「少なくとも」という言葉がでてきたとき、どのように考えればよいですか？

(2)x=0より左の範囲が範囲外とされるのはどうしてですか？

(3)f(0)＞0のとき、a＜0、8/5＜aとできるようですが、このa＜0はどこからでてきたのでしょうか？
f(0)＜0のとき0＜a＜8/5となるのもわかりません。

(問題)
(x－a^2)(x-2a+1)≦0　・・・(1)
x^2-1≧0　・・・(2)
について、次の問いに答えよ。ただし、aは定数とする。

(1)すべての数xが(1)または(2)を満たすように、aの値の範囲を定めよ。
(2)(1)(2)を同時に満たすxは存在しないように、a値の範囲を定めよ。
(3)(1)(2)を同時に満たすxの範囲がb≦x≦-1であるとき、bをaで表せ。
また、bのとりうる値の範囲を求めよ。

（質問）
(1)またまた言葉の捉え方なのですが、「(1)または(2)を満たす」とはどのように考えれば
よいのでしょうか？
「(1)(2)を同時に満たす」とはどのように違うのですか？
解説の数直線の図を見ると、
「(1)または(2)を満たす」とは「(1)(2)を合わせた部分」とあり、これは「(1)(2)を同時に満たす」と
何が違うのかわかりません。

(2)b=2a-1となるのはどうしてですか？

回答No.3

mirage70

問題１について、少なくとも一つの正の解をもつとは、２次方程式で実数解が有れば解は２個(重根を含む)ですので、このうち１個または２個が正の解となることを意味します。
ax^2＋2(a-4)x＋5a-8=0で、a=0の時は、１次式となりますので、xが正の解を持つか調べる必要があります。
次に、a>0とa<0の２つに分けて考える必要があります。
(2)x=0より左の範囲が範囲外とされるのはどうしてですか？ 此は、少なくとも一つの正の解をもつと云うことで、１個が正の解(この時には、重根でなければ、残る１個の解は０または負の解)、２個共に正の解の場合となります。
NO690904を参考(全て)にして考えてください。
(3)f(0)＞0のとき、a＜0、8/5＜aとできるようですが、このa＜0はどこからでてきたのでしょうか？
NO690904を参考にして
f(x)=ax^2＋2(a-4)x＋5a-8とおいて、
a<0のときには、f(x)>0が成り立つaの範囲を求めます。
この時、解無し。
a>0の時には、f(x)<0が成り立つ範囲を求めます。此を求めると、0＜a＜8/5であり、x^2の係数が正か、負かによってどちらに凸のグラフかが決まります。此を利用しています。また、２つの解が正であるときも見てください。

問題２について、
(1)すべての数xが(1)または(2)を満たすように、aの値の範囲を定めよ。
x^2-1≧0より、x>=1,x<=-1と言うことで、全てのxを満たしていません。即ち、-1<x<1において成り立たないので、此を成り立たせるために(x－a^2)(x-2a+1)≦0を使用します。即ち、、-1<x<1を含めた部分で成り立てばよいのです。

同時に満たすxは存在しないように、a値の範囲を定めよ。
此は、(x－a^2)(x-2a+1)≦0の解が、-1<x<1の時には、同時に満たすことは出来なくなります。

(2)b=2a-1となるのはどうしてですか？
此は、(x－a^2)(x-2a+1)=0とおくと、x=a^2とx=2a-1と出てきます、この時の大小関係を見ると、a^2-(2a-1)=(a-1)^2>=0となりますので、a^2>=2a-1(等号は、a=1)
x^2-1≧0より、x>=1,x<=-1と言うことで、xの範囲がb≦x≦-1であるときの-1はx<=-1です、そして、bは、
(x－a^2)(x-2a+1)≦0から、2a-1<=x<=a^2の小さい方の、
2a-1で有ります。b=2a-1となりますが、xの範囲がb≦x≦-1であるので、a^2<1となります。もし、a^2>=1となりますと、x^2-1≧0より、x>=1,x<=-1であり、同時に満たすxの範囲がx>=1でも存在することになります。

回答No.2

daisangenn

(問題)
xの実数係数の方程式ax^2＋2(a-4)x＋5a-8=0が、少なくとも一つの正の解をもつためのａの範囲を求めよ。

(回答)
少なくとも一つ正の解を持つ
→一つ又は二つ正の解を持つ（高々2次関数なので)

では、まず正の解を持たない範囲を求めてみます。
f(x)=ax^2＋2(a-4)x＋5a-8とします。
(1)
a=0の時（この時2次関数にならないので別に考えます。)
f(x)=-8x-8
より、解はx=-1より正の解は持たない。
(2)
f(x)が下に凸の時、つまりa>0の時を考える。
(ⅰ)正の解が2つある時(重解含む)
この時の条件は、
班別式 D≧0,軸>0,f(0)>0より、
D≧0⇒-2≦a≦2,軸>0⇒a-4>0,f(0)>0⇒5a-8>0とa>0より
この条件に当てはまるaは存在しない。
(ⅱ)正の解と負の解が1つずつの時
この時の条件は、
班別式 D≧0,f(0)<0より、
D≧0⇒-2≦a≦2,f(0)<0⇒5a-8<0とa>0より
0<a<8/5
(3)
f(x)が上に凸つまり、a<0の時を考える。
(ⅰ)正の解が2つ（重解含む)の時
この時の条件は、D≧0,軸>0,f(0)<0より
D≧0⇒-2≦a≦2,軸>0⇒a-4>0,f(0)<0⇒5a-8<0とa<0より
この条件に適するaは存在しない。
(ⅱ)正の解と負の解が一つずつの時
この時の条件は、
班別式 D≧0,f(0)>0より、
D≧0⇒-2≦a≦2,f(0)>0⇒5a-8>0とa<0より
この条件に適するaは存在しない。

よって、答えは0<a<5/8となる。

(問題)
(x－a^2)(x-2a+1)≦0　・・・(1)
x^2-1≧0　・・・(2)
について、次の問いに答えよ。ただし、aは定数とする。

(問1)
(1)又は(2)を満たすxの範囲
⇒{(1)を満たすxの範囲}+{(2)を満たすxの範囲}となります。
まず(2)を満たすxの範囲を求める。
(2)式より　x≧1,x≦-1となる。
又(1)を満たすxの範囲と(2)を満たすxの範囲の和がx全体になればいいのだから、少なくても(←ここが重要)-1≦x≦1の範囲では(1)式は成り立たなければならない。そこで、
f(x)=(x－a^2)(x-2a+1)として展開すると
f(x)=x^2-(a^2+2a-1)x+2a^3-a^2となり、
-1≦x≦1の範囲で式(1)が成り立つ条件は
f(-1)≦0,f(1)≦0となる。よって、
f(-1)≦0⇒2a^3+2a≦0,f(1)≦0⇒2a^3-2a^2-2a+2≦0より、
a≦-1(因数分解を行うことで分かります)
よって、答えは a≦-1

(問2)
題意より(1)式は-1≧x,1≦xの時成立してはならない。この条件は、
f(-1)>0,f(1)>0より、
a>0　　（答え)

(問3)
f(x)の解はx=a^2,2a-1である。ここで,aは実数である限り負にはならない。又f(x)は下に凸の2次関数だから負の解になりうるのは2a-1のみ。
よって、b=2a-1　になる。
(1)(2)を同時に満たすxの範囲がb≦x≦-1となる条件は、(x≧1の時式(1)は成立してはならない)
f(-1)≦0,f(1)≧0となるので、
-1≦a≦0　となるのでbの範囲は
-3≦b≦-1 (答え)となる。

回答No.1

ONEONE

(1)
「少なくとも１つ」というのは今回は正の解が１つor２つなくてはいけない、という条件です。
<1>１つ持つとき<2>２つ持つとき
で場合分けすればよいでしょう。

(2)
y=f(x)のグラフで考えます。解をx＞0の範囲で持つためにはグラフがx＞0でy=0と交わる必要があります。

(3)
f(0)＞0かつ軸＜0のときa＜0でなくてはx軸と交わることができません。
f(0)＜0かつ軸＜0のときa＞0となるのも同じ

f(0)＞0のとき、f(0)＜0のとき
と考えるよりは
[1]a＞0の場合
(i)軸＜0 (ii)軸＞0
[2]a＜0の場合
(i)軸＜0 (ii)軸＞0
で場合分けしたいな。僕の場合は。

(1)
「(1)または(2)を満たす」・・・☆
「(1)(2)を同時に満たす」・・・★
例えば
(1)を0、1、2、3、4、5という集合
(2)を3、4、5、6、7、8という集合
とします。
☆のとき0、1、2、3、4、5、6、7、8、
★のとき3、4、5、
となりますよね。
☆のときはいずれかの条件を満たせばいいわけです。
★のときはいずれの条件も満たさなくてはいけない。

数直線の場合も同じです。

お礼

早々のご回答をありがとうございます。
「(1)または(2)を満たす」・・・☆
「(1)(2)を同時に満たす」・・・★
の例えはわかりやすかったのですが、この問題においては、
どういう風に考えればよいのか、せっかくご回答いただいたものの、
全体的にもわかることはできませんでした。
ですが、もう一度解説とONEONEさんのご回答読んで考えてみます。