マクローリン展開の問題です。

質問

（1+x）^αのマクローリン展開式を用いて、1/(1+x+x^2)^(1/2)　のマクローリン展開式x^3の項まで求めよ。

というような問題です。

解き方の確認をしたいのですが
（1+z）^αのマクローリン展開式を求めた後、zにx+x^2を、αに1/2を代入すればいいのでしょうか？
ご回答よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

そうだと思います。

αについて一般的に (1+z)^α の展開式を書き下すのは、
あまり簡単ではないので、
(1+z)^(-1/2) を展開したものに z = x+x^2 を代入する
と考えたほうが良いかもしれませんが。

z^4 以降の項からは、x^3 までの項は生じませんから、
(1+z)^(-1/2) の展開を 3 次までで打ち切ったものに
z = x+x^2 を代入すれば ok です。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.4

alice_44

α が自然数でなくても、有限項までで打ち切るなら、
(1+z)^α = 1 + αz + (1/2)α(α-1)z^2 + (1/6)α(α-1)(α-2)z^3 + (zについて4次以上)
に z = x + x^2 を代入して整理するなどすれば済む。

回答No.3

さゆみ（@sayumi0570）

（１＋Ｘ）＾ｎ　＝ｎＣ０＋ｎＣ１Ｘ＋ｎＣ２X^2＋・・・・・

（１＋Ｘ）＾－１＝－１Ｃ０　＋　－１Ｃ１Ｘ　＋　－１Ｃ２X^2　＋・・・・・・

２項定理を使ってという意味じゃないですか？

(1+X)^-1/2=　-1/2C0 　＋　-1/2C1X +

少し訂正しました

回答No.2

さゆみ（@sayumi0570）

（１＋Ｘ）＾ｎ　＝ｎＣ０＋ｎＣ１Ｘ＋ｎＣ２＋・・・・・

（１＋Ｘ）＾－１＝－１Ｃ０　＋　－１Ｃ１Ｘ　＋　－１Ｃ２　＋・・・・・・

２項定理を使ってという意味じゃないですか？

(1+X)^-1/2=　-1/2C0 　＋　-1/2C1X +

お礼

ありがとうございました。