マクローリン展開 微分 問題

質問

マクローリン展開　微分　問題

aを正の定数、eを自然対数の底とし、f(x)=e^axとおく。

(1)自然数nに対して、f(x)のn次導関数を求めよ。
(2)f(x)のマクローリン展開を求めよ。
(3)Nを自然数とするとき、Σ[n=N～∞]（（x^n）/（n-N）！）
　 の級数の和を求めよ。

(1)
f´(x)=a・e^ax
f´´(x)=a^2・e^ax
よって、d^n/dx^n（f(x)）=a^n・e^ax

(2)
e^axのマクローリン展開は、
e^ax=1+ax+（a^2/2！）x^2+（a^3/3！）x^3+・・・+（a^n/n！）x^n

と解けました。答えは合っているでしょうか？
(3)については、どのように解けばよいのか分かりません・・・
(3)の解き方を詳しく教えて頂けないでしょうか？

ご回答、よろしくお願い致します。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)　OK

(2)e^(ax)=1+ax+（a^2/2！）x^2+（a^3/3！）x^3+・・・+（a^n/n！）x^n　+　…
または
　=1+ax+（a^2/2！）x^2+（a^3/3！）x^3+・・・+（a^n/n！）x^n　+　R(x^(n+1))

(3)
Σ[n=N～∞]（（x^n）/（n-N）！）
=(x^N) Σ[n=N～∞]（（x^(n-N))/（n-N）！）
m=n-Nとおくと
=(x^N) Σ[m=0～∞]（（x^m)/m！）
(2)のa=1の場合の式を適用すると
=(x^N) e^x

お礼

ご回答ありがとうございます。
すいません、補足の場所を間違えて別回答者様の補足質問を記載してしまいましたm(_ _)m

分からない点があるので補足質問させて下さい。
(2)のR(x^(n+1))となんでしょうか？

（3）についても、分からない点があるので教えて下さい。
Σ[n=N~∞]((x^n)/(n-N)!)
nがN～∞の範囲の総和をとると認識しています。
ここで、n=Nでは(n-N)!が0とはならないのでしょうか？
分母が0にはならないのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

補足

ご回答ありがとうございます。

(1)について、帰納法を使って示す場合はどの様にすれば良いのでしょうか？

(3)について、巾級数は、収束円内では広義一様収束
するとはどういうことですか？
収束円内で広義一様収束しなければ項別に微分してはNG
なのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.5

alice_44

←A No.4 補足

(1)
数学的帰納法について、本当に調べたんですか？
(d/dx)^n f(x) = (a^n)(e^ax) が全ての自然数 n で成立つことを示すには、
この式が n = k で成立すると仮定すると n = k+1 でも成立することになる
ことを示せばよいです。

(2)
まづは、言われたことをやってみましょう。
g(x) = Σ[n=N～∞] (x^n)/(n-N)! と置き、N 回微分して
g(x) の N 階導関数を求めてみてください。
解説は、その後で。

補足

ご回答ありがとうございます。
お礼が遅くなり申し訳ありません。

(1)
（d/dx）のとき、
　(d/dx)f(x)=a(e^ax)
（d/dx）^kが成立するなら（d/dx）^(k+1)が成立する
　(d/dx)^(k+1)f(x)=a^(k+1)(e^ax)
よって、数学的帰納法より(d/dx)^nf(x)のとき、
　(d/dx)^nf(x)=a^n(e^ax)
となる。
こんな感じでしょうか？

(2)
g(x)=Σ[n=N～∞]（(x^n)/(n-N)!）
g´(x)=Σ[n=N～∞]((n・x^n-1）/(n-N)!）
g´´(x)=Σ[n=N～∞]((n・(n-1)・x^n-2）/(n-N)!）
N階導関数は、
g^N(x)=Σ[n=N～∞]((n!・x^n-N）/(n-N)!）
となりました。

回答No.4

alice_44

←A No.1 補足

(1) 帰納法の基本事項については、
高校の教科書でも読みましょう。
貴方の書いた部分が、帰納法の漸化ステップです。
あとは、初期化ステップを書き添えてから、
まほうのことば「よって、数学的帰納法により」
で締めれば完了。

(3) 級数が一様収束であれば、項別に微分した
級数の和は、もとの級数の和の微分に一致する
ことが知られています。これは、確認しないと。
問題の級数の場合、収束半径が∞なので、
収束円を意識する必要はないけれども。

ところで、N 回微分はやってみましたか？

補足

ご回答ありがとうございます。

(1)について、数学的帰納法を調べました。
まず、ｆ^(0)(x)=e^ax．
f^(1)(x)=a・e^ax
までは分かるのですが、
n階微分しても成り立つことを証明できません。
どのようにすれば、「よって、数学的帰納法により」
とかけるのでしょうか？

(3)N階微分やってみました。
（（x^n）/（（n-N）!））のN階微分をやってみたところ、
x^nをn階微分すると、分子にn!が出てくることは
分かったのですが、その先はどうすれば良いのでしょうか？

回答No.3

info22_

#2です。

A#2の「この回答へのお礼」について

>(2)のR(x^(n+1))となんでしょうか？

余剰項と呼ばれる項です。記述法は色々ありますが、x^(n+1)以上の項の和を纏めて書いたものです。言い換えれば e^(ax)とn次の項までのマクローリン展開との誤差項を式で表した関数形式で表記したものです。
[参考URL]　下記のR_[n+1], ０_[x]^(n+1)などと同じもの（意味合いは微妙に違いますが）です。
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kiso3/taylor.pdf
http://reference.wolfram.com/mathematica/tutorial/PowerSeries.ja.html

>（3）についても、分からない点があるので教えて下さい。
>Σ[n=N~∞]((x^n)/(n-N)!)
>nがN～∞の範囲の総和をとると認識しています。
ここで、n=Nでは(n-N)!が0とはならないのでしょうか？
階乗の定義により 0!=0,1!=1です。

>分母が0にはならないのでしょうか？
階乗の定義により 0!=1なのでゼロにはなりません。

補足

ご回答ありがとうございます。

0!=1なんですね。知りませんでした・・・

余剰項に関してですが、n次の項以上（誤差）を
考えなければ回答として不適当なのでしょうか？

また、Σ[n=0～∞]（x^n）/（n!）はe^xとなるようなのですが、
これもなぜe^xになるのか理解できません。

申し訳ないのですが、教えて頂けませんでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.1

alice_44

(1)(2) 合ってる。
(1) は、正式には、帰納法を使うこと。

(3) 巾級数は、収束円内では広義一様収束するので、
項別微分することができる。
問題の級数を N 回微分してみると、答えが解る。
1 回微分する毎に x=0 を代入して、
積分してもとに戻すときの
初期条件を求めておくのを忘れないように。

補足

ご回答ありがとうございます。

(1)について、帰納法を使って示す場合はどの様にすれば良いのでしょうか？

(3)について、巾級数は、収束円内では広義一様収束
するとはどういうことですか？
収束円内で広義一様収束しなければ項別に微分してはNG
なのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。