マクローリン展開の問題

質問

f(x)=(1+x)^(1/x) のマクローリン展開を第３項まで求めよ。

という問題です。
lim[x→0]f(x)=e は明らかですが、このままでは展開できそうに無いので両辺の対数をとって
lnf(x)=(1/x)*ln(1+x)
から、両辺をxで微分してみましたが、
f'(x)/f(x)=(-1/x^2)*ln(1+x)+{1/x(1+x)}
となって先が見えません。この式をマクローリン展開するにはどうすれば良いのか教えてください。

回答No.4

Tacosan · ベストアンサー

ln (1+x) を展開するか, ロピタルの定理を使うかしてください.

お礼

ロピタルの定理で求めてみたところ、
f'(0)=e/2
f''(0)=e/6
となりました。f''(0)の方は計算が多すぎて自信がないですが

f(x)=e+ex/2+(ex^2)/12

こんな感じでしょうか、ありがとうございました。

回答No.3

Tacosan

f'(x)/f(x) は x→0 で有限の値になるんじゃない?
だから, それを使っていけばいいと思う.
もしくは, #1 のようにがんばって展開する.

補足

g(x)=lnf(x)とおいたとき、
g(x)=ln(1+x)/x
g’(x)={ln(1+x)/x-1/(1+x)}/x で、
x=0のとき{}内がゼロ、1/xが∞になるのですが、これをもってg'(0)=1としてはいけませんよね？この辺をはっきりした形に直したいのですが何かうまい手はありませんか？

回答No.2

Tacosan

あ～, f(0), f'(0), f''(0) を計算する方が楽かも.

お礼

すみません勘違いしていました。
{lnf(x)}’=f’(x)/f(x)
なので補足は間違いです。

1/xがx=0だと∞になってしまうのでどうもその辺が分かりません

補足

lim[x→0]f(x)=e からf(0)=e　でいいのでしょうか？
それならば対数微分法から
f’(x)=(-1/x)*{ln(1+x)}^2+{1/(1+x)}*ln(1+x)
となったのですが、これにx=0を代入すると
f’(x)=-e*ln(1)^2+1*ln(1)=0
二次以降の微分も同様にやっていけばよいですか？

回答No.1

Tacosan

ln f(x) をマクローリン展開して, e^x のマクローリン展開に代入.