場合の数

質問

a,b,c,d,eの5人をA,B,Cの3室に分ける。空室無しの場合と空室有りの場合をそれぞれ求めよ。
という問いで、空室無しの場合は243通りと分かったのですが、空室有りの場合をどう考えるのかが分からず、以前ここに質問をしました。
その時の回答は144通りとお答えいただいたのですが、正解は150通りのようです。
どのように考えるのか、ご教授お願い致します。

回答No.1

BookerL · ベストアンサー

「空き室有り」というのは必ず空き室がある、ということか、空き室があってもよいということか、紛らわしい気がしますが、必ず空き室有り、でしょうね。

＞空室無しの場合は243通りと分かった
　243は、3^5 ですね。ａの入り方がABCの３通り、ｂの入り方も３通り……で、３通りが５人で場合の数は３の５乗。
　でも、この場合、ａｂｃｄｅ全員がＡ室にはいるような場合も含まれるので「空き室なし」ではなくて、「空き室有り無し全て含めた」場合の数では？

○必ず空き室がある場合の数
　Ａ室が空き室になる場合→ａ～ｅの入り方はそれぞれＢＣの２通りなので 2^5＝32通り。このうち、Ｂ室も空きになる（全員Ｃ室）のが
１通り、Ｃ室も空きになる（全員Ｂ室）のが１通りあるので、Ａ室「だけ」が空きになるのが 30通り。
　Ｂ室だけが空きになるのもＣ室だけが空きになるのもそれぞれ 30通り。
　これに、ＡＢが空きになる・ＢＣが空きになる・ＡＣが空きになるの３通りを加えて、

「必ず空き室有り」の場合の数は 30+30+30+1+1+1 ＝ 93通り

ではないでしょうか。

　ちなみに「空き室なし」は、全ての場合の数 243通りから 93通りを引いて 150通り。

のような気がします。

お礼

ありがとうございます。とても参考になりました。