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数学Ａの場合の数の問題で、１筆書きの問題です。悩んでます・・・
”Ａを始点、Ｂを終点として１筆書きする方法の数を求めよ。” という問題ですが、 Ａ－ΘΘΘ－Ｂ （分かりにくいかもしれませんが、上の行にある"Ａ"と"Ｂ"は直線で結ばれていて、"Θ"どうしはくっついています） 問題の解説では、下の図のようにＣ、Ｄ、Ｅ、Ｆと地点を決めて、まずＣ－Ｄ間には３本の道があるので、３！（６通り）あって、Ｄ－Ｅ間、Ｅ－Ｆ間についても６通りずつあると解説されています。 図 Ａ－ΘΘΘ－Ｂ ↑↑↑↑ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ この解説は理解出来て、最初も私は、上の結果と同様に６×６×６＝２１６通りと思いましたが、まだカウントするものがあって、それは、 「地点Ｄ、ＥについてはＡから出発した後始めてその地点に来たとき、すぐに左方向に引き返すか、右方向に進むのか２つの場合がある」とあり、 答えは６×６×６×２×２＝８６４通りでした。 なぜはじめて、地点Ｄ、Ｅに来たときすぐに左方向に引き返すか、そのまま右方向に進む２つの場合もカウントの対象になるのかが理解出来ません。 分かる方がいらしゃたら、お教え願えませんでしょうか。 宜しくお願いいたします。 【引用】東京出版「マスター・オブ・場合の数」
- ma-cyan369
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- 数学・算数
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≫４回通過する場合が有ると思いますが。 ありえません、DとEは６本の線が出ています。一回通過すると２本消費され、残りは必ず４本、もう一度通過すると、残りは２本ですね。もし４回通過するなら線は８本必要になります。でないと一筆書きという条件を外れる。 ★ＣＤ間の通り方は、６通りです。 ★ＣＤ間の通りいかんに関わらず、一度はＤを通過するのでＤを通過するとき、先にＥに進んでも構わない。・・・CDを済ますか、DEを先にするかの二つの選択肢が加わる。 いずれを選択しても、ＣＤ間の通り方には影響しない ＝独立している。ここが重要 ★これと同じ事が、Ｅについてもいえる。 よって、１ × ６ × ２ × ６ × ２ × ６ × １ A-C C-D D D-E E E-F F-B
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- ORUKA1951
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一度書いたのですが、やはり分かりにくそうなので、簡単に理解できる方法を考えてみました。 左からサークルイロハと記号を付けておきます。 CからDへの経路は６通り、これは最終的にDで終わるなら正しいのですが、ポイントはDを経由した場合、Dはあと２回経由しなければならない。 すなわち、イを消化せずに（Cに戻らずに）Ｅに向かう選択肢があるということです。Ｅに向かった場合もＤには再度戻ってきますから、そのときにＣに戻ればよいだけです。 Ｄ点とサークル(イ）との関係は、いずれを選択しようと６通りあります。その６通りについて、すべてそのままＥに向かう方法と、先にサークル（ロ）に向かう二通りある。 ★（ポイント：どちらに向かおうと、ＣからＤへの組合せと独立している） ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ これは、Ｅにおいても、成り立つ＝左右対称なので＝ので、都合×２×２としなければならない。 これなら分かるかな・・・・
お礼
すみません。この回答が'OKURA1951'さんからの回答だと、今気ずいてしまいました。 再三にわたり、丁寧な解説、誠を持って感謝いたします。（礼
- chie65536（@chie65535）
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＞まずＣ－Ｄ間には３本の道があるので、３！（６通り）あって、Ｄ－Ｅ間、Ｅ－Ｆ間についても６通りずつあると解説されています。 ＞最初も私は、上の結果と同様に６×６×６＝２１６通りと思いました この「２１６通りだけ」では「ＣＤ間の３本をすべて通り終わってから、ＤからＥ方向に進み、ＤＥ間の３本をすべて通り終わってから、ＥからＦ方向に進んだ時」だけしかカウントしません。 しかし、実際には ・ＣＤ間の３本の道を全部通ってからＥ方向に進む ・ＣＤ間の３本の道のうち１本だけしか通ってないのにＤからＥ方向に進む と言う２通りと ・ＤＥ間の３本の道を全部通ってからＦ方向に進む ・ＤＥ間の３本の道のうち１本だけしか通ってないのにＥからＦ方向に進む と言う２通りがあるのです。 つまり ・ＣＤ間の３本の道を全部通ってからＥ方向に進み、ＤＥ間の３本の道を全部通ってからＦ方向に進む ・ＣＤ間の３本の道を全部通ってからＥ方向に進み、ＤＥ間の３本の道のうち１本だけしか通ってないのにＥからＦ方向に進む ・ＣＤ間の３本の道のうち１本だけしか通ってないのにＤからＥ方向に進み、ＤＥ間の３本の道を全部通ってからＦ方向に進む ・ＣＤ間の３本の道のうち１本だけしか通ってないのにＤからＥ方向に進み、ＤＥ間の３本の道のうち１本だけしか通ってないのにＥからＦ方向に進む で４倍に増えます。 つまり ・始めてＤ地点に来たとき、すぐに左方向に引き返す＝ＣＤ間の３本の道を全部通ってからＥ方向に進む ・始めてＤ地点に来たとき、右方向に進む＝ＣＤ間の３本の道のうち１本だけしか通ってないのにＤからＥ方向に進む ・始めてＥ地点に来たとき、すぐに左方向に引き返す＝ＤＥ間の３本の道を全部通ってからＦ方向に進む ・始めてＥ地点に来たとき、右方向に進む＝ＤＥ間の３本の道のうち１本だけしか通ってないのにＥからＦ方向に進む の４通りがあるので４倍する、と言う事。
お礼
回答有難う御座いました。 つまり、Ａ地点から出発して、Ｄ地点に達した場合に２通りあって、又、Ａ地点から出発して、Ｅ地点に達した場合に２通りがあって、 ２＋２＝４通りがあるので、４倍になるってことで宜しいんですよね。 本当に有難う御座いました。
- ORUKA1951
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一筆書きの問題は、一筆書きの原理・・・開始点と終点を除いたすべての点に置いて、偶数の線が必要。 言い換えると、CとDについては、その点に４つの線が出ていますが、DとEについては、６本の線が出ています。 ということは、CとFについては２回通過するが、DとEについては３回通過する必要がありますね。 単純な二つ団子の形で実際にやってごらん・・・３６通りじゃないから、二つ団子の間ではも引き返さずに次の団子に進んでも、書けますよ。
お礼
一筆書きの一般論、感服いたしました。本当に有難い情報です。 ただし、場合によってはＤとＥについて４回通過する場合が有ると思いますが。 例えば、３つの団子の中の２番目について、最初に一筆書きした場合と、３番目について最初に一筆書きした場合です。 それで、宜しいですか？
- owata-www
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＞まずＣ－Ｄ間には３本の道があるので、３！（６通り）あって、Ｄ－Ｅ間、Ｅ－Ｆ間についても６通りずつあると解説されています。 これは、３本の道を通った順番です。別に直後に通らなくてもいいです。 例えば、ＣーＤ間に三本の道α、β、γがあったとして、直後かどうかではなく通った順番（α→（）→β→（）→γ）（β→（）→α→（）→γ）…を考えます。これは３！＝６通りずつあります。 次に、Ｃ－Ｄ－Ｅ－Ｆをどのように通って行ったかです Ａ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｄ→Ｃ… Ａ→Ｃ→Ｄ→Ｃ→Ｄ→Ｅ… このやり方が、２×２＝４通りになるわけです。 拙い説明かもしれませんが、お分かりでしょうか？
お礼
回答有難う御座います。つまり ＞Ａ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｄ→Ｃ… ＞Ａ→Ｃ→Ｄ→Ｃ→Ｄ→Ｅ… の場合は、Ｄで始めて右に行くか、左に行くかの場合の２通り。 あとは、 Ａ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｆ→Ｅ…でＥで始めて右に行くかの場合、 Ａ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｄ→Ｅ…でＥで始めて左に行くかの場合の ２通りあって、２＋２＝４通りある、という認識に至りました。 有難うございました。
お礼
大変失礼いたしました。 本当にスミマセン。 どうやら私は、一筆書きの描き方が分からなかったのが原因で、奇妙な質問をしてしまったようです。 ですが、結果的に確実に理解できました。 そして、丁寧な解説をしていただいて有難うございました。