塗りわけ問題 場合の数

質問

まったく同じ形の6つの長方形a,b,c,d,e,fがあります
まずb,d,fを左から横一列に隙間なく並べます
c,eをそれぞれb,dの下に隙間なくくっ付けます
そしてaはb,dにまたがるように二つの上にくっつけます
この図形を隣り合う長方形は色が異なるように赤、青、緑で色分けすると全部で何通りの塗り分け方があるか。

とある大学の過去問らしいのですがまったくわかりません
樹形図を使えばすぐにわかる問題なのですが先生が言うには計算だけで導きだせるらしいのです
でも先生自身解くのにかなり時間がかかったといっていました
どなたかわかるかたはよろしくおねがいいたします

回答No.2

liar_adan · ベストアンサー

最初、6つの長方形がピラミッド状に並んでいるのかと思ったら、
違うんですね。

最初に、色を抽象化します。
{赤・青・緑}を、{α色、β色、γ色}として考えます。

まず、制限の多いところの色から先に決めてしまいましょう。
図形の中心にあるのはdマスなので、dにα色を塗ります。
次に制限の多そうなのはbでしょうか。bにβ色を塗ります。

そうすると、aの色は自動的に決まります。γ色です。

残りは、右方のfと、下方のc・eです。
そして、この二つの部分は、おたがい影響がありません。

fは、2つの色に塗れる自由度を持っています。
β色、γ色です。

c・eは、面倒ですが、3つの方法がある自由度を持っています。
α色・β色
α色・γ色
γ色・β色
この3種類の方法があります。

右方の自由度と、下方の自由度をかけて、
2×3＝6通り。
つまり、b・dの2つの色を決めた場合、これらの図形には6通りの塗り分け方があります。

そして{赤・青・緑}を{α色、β色、γ色}に対応させる方法は、
3P3だから、6通りです。
結局、6×6＝36通りの塗り分け方があります(と思います)。

回答No.1

nrb

上から考える

一番上のa　はまずどの色でも良いので

３通り

次に下のｂはaの色以外の２通り
でdは自動的に決まります

この３つだけを考えると３！です

次に一番右のｆは左のd以外の２通り

で下の２個ｃ,eは
Cは２通りです
C決まればeは２通りです

したがって３！×２×２×２

どこから始めても行けますね

右から考えると

ｆは３通り
ｄはｆ以外なので２通り
ｂはｄ以外の通り
上のa選べません自動時に決まる
下も先ほどの考えと同じなので
Cが２通りでeが２通りになるので

３×２×１×２×２×２

どこから始めても計算できる