レイリー・ジーンズの式からプランクの式を出すには？

質問

レイリー・ジーンズの式は、振動数が小さいときにしか成り立たないと習いました。

プランクの式において振動数が小さいときに、レイリー・ジーンズの式が成り立つことを、レイリー・ジーンズの式をマクローリン展開をすることで近似したいのですが、その方法がわかりません。

プランクの式：（８πhν3/ｃ3){exp(hν/kT)-１}‐1←マイナス一乗です

レイリー・ジーンズの式；(８πkT/c3)ν2

回答No.4

htms42

ｓｉｅｇｍｕｎｄ様
補足ありがとうございます。

質問者様
ミスタイプをきちんとチェックしていませんでした。
すみません。

exp(x)＝１＋(1/1)ｘ＋(1/1・2）ｘ^２＋(1/1・2・3)ｘ^３＋・・・
これはd(exp(x))/dx＝exp(x)から出てきます。

hν/kT<<１のときというのは振動のエネルギー順位の幅が熱エネルギーに比べて十分に小さいということです。従って実際に振動体の持つエネルギーはｈνよりも高いです。ｎ＝ｋＴ／ｈνとするとｎ番目の準位ぐらいまでは励起されているだろうと言うことが出来ます。十分に高い順位まで励起されているということですのでエネルギー順位が不連続であるという特徴は消えてしまうことになります。量子論を必要としません。量子論に高温近似を当てはめると古典論になリます。

お礼

丁寧なご回答、ありがとうございます。

＞十分に高い順位まで励起されているということですのでエネルギー順位が不連続であるという特徴は消えてしまうことになります。量子論を必要としません。量子論に高温近似を当てはめると古典論になリます。

これは知りませんでした！実はつい最近、授業で量子論を習い始め、いかに高校のときに本当に表面の薄い部分しか習っていなかったのだと実感しています。しかし、上のことがいまいち理解できません・・・。確か振動数が低いほど、熱エネルギーが高くなるのですよね？(赤外線は振動数が低くて熱を伝えやすいことから)。振動体のエネルギーと熱エネルギーをどう関係付ければよいのか、わかりません。次から次へと質問してしまい、ほんとうに申し訳ないです。

回答No.3

siegmund

二番煎じで恐縮ですが，
htms42 さんの書かれている意味は次のようなことです．
マクローリン展開で exp(x) = 1 + x + ・・・
ですから，x が十分小さいとき exp(x)-1 は x で近似できます
(sxp は補足にあるように htms42 さんの手が滑ったのでしょう)．
今は，質問文中の
(８πhν^3/ｃ^3){exp(hν/kT)-１}^(‐1)
の分母で，x = hν/kT になっているわけです．
つまり，exp(hν/kT)-１ を hν/kT で近似してよろしい．
あとは整理するだけです．

x が十分小さいというのは，x = hν/kT に即して言えば，
高温あるいは低振動数(低エネルギー)ということとになります．

お礼

わかりやすいご説明ありがとうございます！
おかげで近似方法はよくわかりました。
なぜ、第二項まで、といえるのか？とも思いますが、それが近似するのに都合が良いからなんですね。なんだかこうもきれいに近似できるのが不思議です^^

回答No.2

ojisan7

>レイリー・ジーンズの式からプランクの式を出すには？

出せません。それは不可能なことです。逆にプランクの式からレイリー・ジーンズのを出すことは可能です。そのことは計算するまでもないことでしょう。実際わたしは計算していません。

回答No.1

htms42

＞プランクの式において振動数が小さいときに、レイリー・ジーンズの式が成り立つことを、レイリー・ジーンズの式をマクローリン展開をすることで近似したいのですが、

逆だと思います。
プランクの式が全範囲で成り立ってレイリー・ジーンズの式が振動数の小さい所で成り立つというのであればプランクの式を振動数が小さいとして展開すればレイリー・ジーンズの式が出てくるという事になります。

ｓｘｐ（ｘ）－１～ｘ
で出てきます。

補足

書き間違えました。ご指摘のとおり、プランクの式からレイリー・ジーンズの式を出す方法を知りたかったのです。
しばらく数学をやっていなかったため、マクローリン展開をさっぱり忘れており、調べてやってみようとしましたが、納得がいかずここで質問をしました。

ｓｘｐ（ｘ）－１～ｘ

ｓではなくeですよね・・・・？
また、私の知識不足でどのように上の式を利用すればよいのかわかりません。すみません。良かったら、詳しく教えていただけませんか？