プランクの式からの積分計算

質問

十分高温のとき

a = hν/kT << 1

をすると

∫a→0 x^3/{exp(x)-1} dx

が計算できるようですができません。

テーラー展開して
exp(x)=1+x+...

。。。(´・ω・`;)??

手図まりです。アドバイスをお願いします。

回答No.5

noname#108554 · ベストアンサー

なんといいますか・・・
a→0とa<<1では結果の表現が異なるのですが。

a→0ならどう見ても（積分）=0ですが、
a<<1なら、No.4さんのようにやるか、
私の提案のようにやるかです。
結果は本質的に変わらないはずです。

hint: f(0), f'(0), f''(0)までは0ですが、
　　　f'''(0)で初めて0でない値が出てきます。
　　　ですから、ここまでがんばって展開です。

回答No.4

shun0914

混乱が起きているようですね。

＞∫a→0 x^3/{exp(x)-1} dx
はx^3/{exp(x)-1}をx＝aから0まで積分する（∫_a ^0 dx）という意味ですか？（たぶんx＝0からaまで積分したいと想像されます。）

と仮定して書きますと、
exp(x)＝１＋x　（高温近似）
ですから
∫_a ^0 [x^3/{exp(x)-1}]dx＝∫_a ^0 {x^2}dx
＝－(1/3)a^3＝－(1/3)(hν/kT)^3

たぶんデバイモデルの勉強ですね。

回答No.3

noname#108554

>a～0付近での振る舞いを知りたいのです。
>でもa→0なので答えは積分区間が0～0なので、積分値0ですよね??
>答えは0ですか!!???

まあ、それならそういうことに。
でも、a～0の振る舞いを知りたいのに、
a→0の極限をとってしまうのはなぜです？

お礼

十分高温のとき

a = hν/kT << 1

だからです(´・ω・`)
これで悩んでます(´・ω・`)

回答No.2

noname#108554

>aの関数だから、
>第一項
>f(0)=0

そうです。

>第二項
>f(a)a

f'(0)aです。

>結局0になりませんか??

もちろん、a→0の極限で0に行きます。
式の形から当然です。
a～0付近での振る舞いを知りたいのでしょう？

お礼

a～0付近での振る舞いを知りたいのです。

でもa→0なので答えは積分区間が0～0なので、積分値0ですよね??

答えは0ですか!!???

回答No.1

noname#108554

f(a)=∫a→0 x^3/{exp(x)-1} dxとおいて
aについてテーラー展開すればよいでしょう。
（xについてではなく。）

お礼

というと
f(a)=∫{a→0} x^3/(exp(x)-1) dx
ですよね？？

aの関数だから、
第一項
f(0)=0
第二項
f(a)a

結局0になりませんか??