ウィーンの変位則

質問

プランクの公式

E(λ)=a/λ^5/(exp（b/λT)-1)
a=2πc^2h
b=ch/k

・・からウィーンの変位則を導きたいのですが
b/λT=x'とおいた時

exp(-x')+x'/5-1=0

となるところはわかっています。
この式からx'を求められれば後は何とかなる
用ですが、この計算は少し工夫が必要だそうです。
ちなみにウィーンの変位則は

λT=2.8978*10^（-3）　　

となるようです。
僕はもう、数学なんかずいぶん解いてないので
マクローリン展開とか言われても
聞いたことあるなぁ・・・なんだっけ？
・・・という感じになってしまっています。
物理に詳しい方、数学の得意な方
なるべく簡単に教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

x' は使いにくいので，x と書かせてもらいます．

(1)　　exp(-x)+x/5-1=0

x=0 が解であることは一目でわかりますが，
これは求める解ではありません．
少し調べてみると，プランク公式の極小値が x=0 に対応していることがわかります．
ウイーンの変位則はプランク公式の極大値を求めるものですね．

brogie さんにには何か誤解があるようです．
brogie さんは x が１に比べて無視できるほど小さいと書かれていますが，
x は(1)を満たすものとしてこれから求めるものですから，
１に比べて無視できるかどうかはまだわかりません．
実際，１より大きいことはあとでわかります．

グラフを描いてみると，解の様子がわかります．
(2)　　f(x)=exp(-x)
(3)　　g(x)=-x/5+1
とおいて，曲線 y=f(x) と 直線 y=g(x) の交点のｘ座標が求めるものです．
あとは，グラフを自分で描いてみてください．
交点が x=0 と x=5 付近にあるのがわかるはずです．
大体の値がわかれば，電卓で try and error でも簡単にできるでしょう．
プログラム電卓ならもっと簡単．
力でやるなら，Ｃなり Fortran なりで，x を動かして f(x)-g(x)
の値を出力させて探してもよい．
もっとスマートに求めるのなら数値計算のニュートン法などがあります．

ちょっとやってみたところ，答は x=4.96511 です．

お礼

レスが遅くなって申し訳ありません
すごく良くわかりました
siegmundさんの計算値をもとに
エクセルでf(x)-g(x) を計算して
大まかに値を4.965と得ました
（あまり厳密には求めなくて良いようなので・・・。）
この解き方は目からうろこです。
一生懸命計算しようとしていたのがバカらしくなりました。
本当にありがとうございます。
　　　　　　多謝

回答No.1

brogie

exp(-x')+x'/5-1=0 .....1式
このexp(-x')をテイラー展開をします。
exp(-x')=1+(-x')/1!+(-x')^2/2!+...
x'=b/λT=(ch/k)/ λT=ch/kλT
これを計算するとx'は１に比べ無視できるほど小さいので
x'<<1なので、テイラー展開の...以下を無視します。
これを１式に代入します。
後は物理定数を代入して計算して下さい。