プランクの放射式

質問

プランクの放射式

I=（8πｈν^3/ｃ^3）*（１/（（e^(hν/kT)）-1）を
波長λ120nmから180nmの範囲で積分したいのですが，わかりません．

ν=c/λです

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

ははあ，そういうことですか．
それなら，

(a) Ｔを sweep して U の値を数値積分で求める．
で，実験値と比べればＯＫ．
はじめは荒く sweep して，近いところをまた細かく sweep すればよい．
つまり，T 対 U の数表を作るようなものです．
能率良くやるなら２分法で幅を狭めていけばよいですね．

(b) 120 nm というと，hν/kT = h/λkT で温度に換算すると１０万度くらいですか．
温度 T が１０万度よりずっと大きければ，
積分領域は t << 1 ですね．
したがって，t = 0 周りの展開を使って
t^3/(e^t-1) ≒ t^2 - (t^3 / 2)
で積分を解析的に実行すればよい．
第１項だけとって大体十分でしょうが，第２項が今の近似への補正の目安を与えます．

逆に T が１０万度よりずっと小さいのなら，積分領域は t >> 1．
t^3/(e^t - 1) = t^3 e^(-t)/{1 - e^(-t)} ≒ t^3 e^(-t) + t^3 e^(-2t)
と展開して積分を解析的に実行すればよい．
ここでも，第２項が今の近似への補正の目安を与えます．

積分値の実験値がわかっているのですから，
ちょっと電卓叩けば(b)のどちらのケースかわかりますが，
ちと面倒になってきました．
あとはおまかせしましょう．

(b)の方が利口なやりかたですね．

回答No.1

siegmund

プランクの放射式は，
振動数がν～ν+ dνの間にある放射エネルギー密度I(ν)dνである，
というものですね．
I(ν)は hbw さんの書かれているように
I(ν) =（8πｈν^3/ｃ^3）*（１/（（e^(hν/kT)）-1）．
です．
だから，λ1 から λ2 までなら，ν2 = c/λ2 から ν1 = c/λ1 までで
U = ∫{ν2 ～ ν1} I(ν) dν
を計算すればよい．
ν = c/λ ですから，νとλの大小関係は逆転していますね．
それで，積分が ν2 から ν1 までです．

さて，指数関数の肩のところを
hν/kT = t
とおくと，積分が簡単な形に整理できて
U = (8π k^4 T^4/c^3 h^3) ∫{t2 ～ t1} t^3/(e^t - 1) dt
になります．
t2 と t1 は，それぞれ ν2 と ν1 に対応します．
t は エネルギー hν をエネルギー kT で割った量ですから
物理的次元のない量ですね．

で，∫{t2 ～ t1} t^3/(e^t - 1) dt は残念ながら解析的にはできません．
でも，λ1 = 120 (nm) と λ2 = 180 (nm) は決まっているのだから，
温度を決めれば t2 と t1 は決まりますね．
つまり，∫{t2 ～ t1} t^3/(e^t - 1) dt は単なる数値を与える積分に過ぎません．
具体的には，T を決めて(つまり t2 と t1 を決めて)数値積分をすればよい．

なお，全波長について積分すれば(νがゼロから無限大)，
t2 = 0，t1 = ∞ で，
定積分は π^4/15 になることが知られています．
つまり，定数部分をσに押し込めてしまうと U = σT^4 になっていて，
これは Stefan-Boltzmann の法則ですね．

式は間違っていないと思いますが，念のためチェックしてくださいね．
タイプミス，なんて可能性もあるので．

補足

回答ありがとうございます．
siegmundさんの説明してくださったとおりなんですが，

実はその温度Tを求めたいのです．
積分値は，実験で求めていまして，160*10^6J/m^2なんですよ．
でそれから，プラズマ温度を見積もろうと思ってるのですが・・・