EをMに沿ったNの上への射影,FをM'に沿ったN'の上への射影(M,N,M',N'はVの部分空間)の時,EF=FEの真偽

質問

すいません。下記の問題の解き方が分かりません。

[問]Vを有限次元線形空間とする。EをMに沿ったNの上への射影,FをM'に沿ったN'の上への射影(M,N,M',N'はVの部分空間)の時,EF=FEの真偽を判定せよ。
[解]
∀x∈V,x=x_M+x_N (x_M∈M,x_N∈N)とする
EF(x)=E(F(x))=E(x_M')(∵Fの定義)
FE(x)=F(E(x))=F(x_M)(∵Eの定義)
から先に進めません。

どのようにして真偽判定すればいいのでしょうか?

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

定義を勘違いしているようですね。
教科書を読み直したほうがよいでしょう。

貴方の説明は、「Mに沿ったNへの射影」ではなく「Nへの正射影」の話です。
「Nへの正射影」とは、Nの直交補空間に沿ったNへの射影のことで、それも
「Nへの射影」のひとつではありますが、Mを勝手に与えることはできません。

ベクトル空間Vのふたつの部分ベクトル空間MとNが互いに補空間であるとき、
Vの任意のベクトルpは、MのベクトルuとNのベクトルvの和p=u+vという形に
唯一通りに分解されますが、このときの
uを「pのNに沿ったMへの射影」、
vを「pのMに沿ったNへの射影」というのです。
MとNが直交していなければ、「垂線を下ろし,そのN成分」にはなりません。

x軸に沿う直線y=xへの射影は、(x,y)→((x+y)/2,(x+y)/2)ではなく、
(x,y)→(y,y)です。垂線を下ろさず、平行四辺形を描きましょう。
射影は、要するに成分をとる写像ですから、
斜行座標系を思い浮かべれば感じがつかめると思います。

お礼

有難うございます。
図を描いて漸く納得できました。

回答No.1

arrysthmia

反例を挙げればよいでしょう。

Vをxy平面
Eをy軸に沿うx軸への射影(x,y)→(x,0)
Fをx軸に沿う直線y=xへの射影(x,y)→(y,y)
とすれば、
EFは(x,y)→(y,0)
FEは(x,y)→(0,0)
であって
EF≠FEです。

お礼

有難うございます。
「EをMに沿ったNの上への射影」と言ったらE(x)はベクトルxをM方向とN方向とに垂線を下ろし,そのN成分の意味を採るのですよね。

> 反例を挙げればよいでしょう。
>
> Vをxy平面
> Eをy軸に沿うx軸への射影(x,y)→(x,0)

(x,y)をy軸とx軸とに垂線を下ろし(夫々(0,y)と(x,0)),x軸成分(後者)の方を採ればいいのだから(x,0)。

> Fをx軸に沿う直線y=xへの射影(x,y)→(y,y)

(x,y)をx軸と直線y=xとに垂線を下ろすと夫々,(x,0),((x+y)/2,(x+y)/2)
そして後者のを採ればいいのだから((x+y)/2,(x+y)/2)
ではないのですかね。

> とすれば、
> EFは(x,y)→(y,0)
> FEは(x,y)→(0,0)
> であって

EF(x,y)=E((x+y)/2,(x+y)/2)=((x+y)/2,0)
FE(x,y)=F(x,0)=(x/2,x/2)

よってEF≠FE
となったのですが定義を勘違いしておりますでしょうか?