f_n=g_n a.e on R^nとする。g_n→g(測度収束)ならばf_n→g(測度収束)を

質問

次の問題で質問です。

[問]f_n=g_n a.e on R^nとする。g_n→g(測度収束)ならばf_n→g(測度収束)を示せ(f_n,g_n,gはルベーグ可測な関数)。

[証明]

R^nでの殆どいたるところでf_n=g_nだというのだから零集合Zを除いたx∈Eではf_n(x)=g_n(x)という意味だと思います。

f_n,g_n,gをE⊂R^n上のルベーグ可測関数とする。
仮定より,0<∀ε∈R,0=lim[n→∞]μ({x∈E;|g_n(x)-g(x)|≧ε})
=lim[n→∞]μ({x∈E＼Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε}∪{x∈Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε})(但しZは零集合)
=lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε})+μ({x∈Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε}))
(∵測度の定義(可算加法性))
=lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε})+μ({x∈Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε}))
(∵仮定「f_n=g_n a.e.」)
=lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε})+0)
(∵零集合の定義)
=lim[n→∞]μ({x∈E＼Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε}+μ({x∈Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε}))
(∵零集合の定義)
≧lim[n→∞]μ({x∈E＼Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε}∪{x∈Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε}))
(∵測度の定義)
=lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-g(x)|≧ε}+)
即ち, 0<∀ε∈R,lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-g(x)|≧ε})=0.
∴ {f_n}はgに測度収束する。

となったのですがこれで正しいでしょうか?

回答No.3

kuwaman091 · ベストアンサー

慨収束ですよね。
ルベーグ積分３０講ではやはり
Z_n={x|f_n(x)\not=g_n(x)}
Z=∪Z_n
として考えています。
>> koko u さんも
定義上は Z は各添字 n に依存して決まるので、その考慮が必要ですとはこのことだと思いますが。

その後の証明は正しいと思います。
一般的な教科書などに書かれてそう感じなんで、探してみてください。

お礼

> 慨収束ですよね。

「(Ω,B,m)を測度空間,f_nやfをΩから実数全体Rへの可測関数とする。{f_n}⊂Ωがfに概収束するとは
m{w∈Ω;lim[n→∞]f_n(w)≠f(w)}=0. この時,f_n→f a.e.と表す」
と見つけました。

> ルベーグ積分３０講ではやはり
> Z_n={x|f_n(x)≠g_n(x)}
> Z=∪Z_n
> として考えています。

つまりf_n=g_n a.e.とはf_1=g_1 a.e.、f_2=g_2 a.e.、f_3=g_3 a.e.、…
という意味なのですね。

回答No.2

kuwaman091

Z_n={x|f_n(x)\not=g_n(x)}
Z=∪Z_nと考えれば問題なし。

お礼

> Z_n={x|f_n(x)\not=g_n(x)}
> Z=∪Z_nと考えれば問題なし。

R^nでの殆どいたるところでf_n=g_nだというのだから零集合Z:={x∈E;f_n(x)≠g(x)}
を除いたx∈Eではf_n(x)=g_n(x)という意味だと思います。

f_n,g_n,gをE⊂R^n上のルベーグ可測関数とする。
仮定より,0<∀ε∈R,0=lim[n→∞]μ({x∈E;|g_n(x)-g(x)|≧ε})
=lim[n→∞]μ({x∈E＼Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε}∪{x∈Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε})(但しZは零集合)
=lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε})+μ({x∈Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε}))
(∵測度の定義(可算加法性))
=lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε})+μ({x∈Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε}))
(∵仮定「f_n=g_n a.e.」)
=lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε})+0)
(∵零集合の定義)
=lim[n→∞]μ({x∈E＼Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε}+μ({x∈Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε}))
(∵零集合の定義)
≧lim[n→∞]μ({x∈E＼Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε}∪{x∈Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε}))
(∵測度の定義)
=lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-g(x)|≧ε}+)
即ち, 0<∀ε∈R,lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-g(x)|≧ε})=0.
∴ {f_n}はgに測度収束する。

となったのですがこれで正しいでしょうか?

補足

> 定義上は Z は各添字 n に依存して決まるので、

再度訂正

「だというのだから零集合Z_n:={x∈E;f_n(x)≠g(x)}でZ=∪Z_n
を除いた」

回答No.1

koko_u_

>零集合Zを除いたx∈Eではf_n(x)=g_n(x)という意味だと思います。

定義上は Z は各添字 n に依存して決まるので、その考慮が必要です。
その後は読んでないけど、もう少し日本語で議論を進めたほうがいいですよ。

お礼

> 定義上は Z は各添字 n に依存して決まるので、その考慮が必要です。

nに依存!? これはどのような定義でしょうか? 是非お教え下さい。

> その後は読んでないけど、もう少し日本語で議論を進めたほうがいいですよ。

仮定より,0<∀ε∈R,0=lim[n→∞]μ({x∈E;|g_n(x)-g(x)|≧ε})
と書けて,零集合を排除した箇所ではf_n=g_nが成立しているのでそれを利用したく

=lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε})+μ({x∈Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε}))
最右項は値が0だから等号で結べますよね。

=lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε})+μ({x∈Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε}))
ここでは零集合を排除したE＼Zの範囲ではf_nとg_nが等しいのでこのように書けます。

=lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε})+0)
ここは零集合の測度は0というのを使いました。

以下はE＼ZからEに戻す作業です。

=lim[n→∞]μ({x∈E＼Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε}+μ({x∈Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε}))
≧lim[n→∞]μ({x∈E＼Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε}∪{x∈Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε}))
(∵測度の定義)
=lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-g(x)|≧ε}+)
即ち, 0<∀ε∈R,lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-g(x)|≧ε})=0.

∴ {f_n}はgに測度収束する。

こんな感じでよろしいでしょうか?