Map(V,F)∋y1,y2,…,ym:線形写像(m<n)なら[(∩[i=1,..,m]Ker(yi))＼{0}]≠φ

質問

[問]Prove that if m<n,and if y1,y2,…ym are linear functionals on an n-dimensional vector space V,then there exists a non-zero vector x in V such that yi(x)=0 for i=1,2,…m.

はどのようにすればいいのでしょうか?

文意はVを体F(=R or C)上のn次元線形空間とする時、
Map(V,F)∋y1,y2,…,ym:線形写像 (m<n)とする。
この時、
[(∩[i=1,..,m]Ker(yi))＼{0}]≠φ

という事を示せば言いのだと解釈してます。

回答No.4

tecchan22 · ベストアンサー

＞所で、今回の問題は
「また、この線形方程式についての結果は何を物語っているか?」
とも問われているのですが
その答えは「∩[i=1,..,m]Ker(yi)の補集合の直交補空間の元を表している」と答えれば正解でしょうか?

●「この線型方程式」とあるが、どこに線型方程式があるのか僕には分かりません。

●意味・意義の解釈は種々にできます。これこそ自分の頭で考えるべきことでしょう。

●あなた自身が指摘してくれた通り、Ｖはもともと内積は定義されてないのですから、直交補空間をもちだすのは不適切です。内積を用いない解釈を、まずは求められていると思います。
もしも「直交補空間」という概念を用いるなら、どういう内積を入れるのか、書かねばなりません。（僕が「修正」でそうしたように）

●しかしどんな内積を入れたとしても、「「∩[i=1,..,m]Ker(yi)の補集合の直交補空間」は、yiがすべてゼロ写像ならば、Ｖ。そうでなければ、｛０｝になります。（よく考えて見ましょう）

●僕ならば、「この結果は、残念ながら言葉を話せないので、何も物語ることができない」と答えます。
ほとんど自明な結果であり、大した意味があるとは思えませんので、皮肉として。

以上。あまり人にばかり聞かず、自分でよく勉強することを勧めます。
おそらく同じ学校のメンバーがよく問題を丸投げしているので、しばらく答えるのは控えようと思います。

お礼

どうも御回答有難うございました。
お陰様で大変参考になりました。

回答No.3

tecchan22

なるほど、内積空間とは書いてありませんでしたね。大変失礼しました。m(＿)m
修正しますね。

●内積は自然に入れることが出来ます。（後で書きます）

●まず、ヒント(1)の「ような」解法が王道でしょうから、それが出来ることがメインです。
(1)からの解答は種々考えられ、しかも、あなたの教科書の構成によりますから、模範解答は一概には言えませんが、
たとえば、
「Ｙはｍ×ｎ行列でｍ＜ｎだから、rankＹ≦ｍ（＜ｎ）より、Ｙｘ＝０の解空間の次元はｎ－rankＹ＞０。よってＹｘ＝０となるｘ∈Ｖ－{０}が存在する」

あなたの教科書にある定理を使って証明してください。

●さて、内積のことについて、正確に述べます。
まず、y1,y2,・・,ymをそれぞれ行列表示するためには、まずＶの基底を一つとってこないといけませんね。
それを{e1,e2,・・,en}とします。
その上で、たとえばy1について、
y1(e1)=a11,y1(e2)=a12,y1(e3)=a13,・・,y1(en)=a1n
だとすると、線形性から、
y1(ｘ1e1+ｘ2e2+・・+ｘnen)=a11ｘ1+a12ｘ2+a13ｘ3+・・+a1nｘn
（ｘ1,ｘ2,・・,ｘn∈Ｆ。「かける」と見間違わないで下さい）
となりますから、
y1は(a11,a12,a13,・・,a1n)と行列表示できるわけです。
（ＯＫですか？）

そこで、「{ei}を基底として成分表示した」Ｖの任意のベクトル
(x1,x2,・・,xn)と(y1,y2,・・,yn)に対して、その内積を
x1y1+x2y2+・・+xnynで定義するわけです。
これが内積の公理を満たすことはすぐ確認できます。

すると、ei・ei=1 （i=1,2,・・,n) , ei・ej=0 (i≠j) となり、勝手に取った{ei}は正規直交系となるわけです。

そういう内積が自然に導入できますから、そうすると、ということですね。正確には。

すると、上のy1は、(a11,a12,・・,a1n)=a1（ベクトル）として、
y1(ｘ)＝a1・ｘ
と理解できます。
そして、y1(ｘ)＝０⇔a1・ｘ＝０⇔a1⊥ｘ
となります。
ゆえに、ｘがすべてのyiのカーネルに入っている⇔「ｘはa1,a2,・・,aｍの全てと垂直」
となります。（a2,・・,amは、y2,・・,ymを表すベクトル）
m＜ｎより、a1,a2,・・,amのすべてと一次独立なベクトルｂ∈Ｖが取れますから、あとはシュミットの直交化法により、a1,a2,・・,amのすべてと垂直なｂ’がつくれる訳です。

こんな解答はマイナーでしょうが。

不正確な回答失礼しました。

お礼

詳細なご説明誠に有難うございます。
大変参考になりました。

所で、今回の問題は
「また、この線形方程式についての結果は何を物語っているか?」
とも問われているのですが
その答えは「∩[i=1,..,m]Ker(yi)の補集合の直交補空間の元を表している」と答えれば正解でしょうか?

回答No.2

tecchan22

具体的に考えてみましょう。

yiはＶ（ｎ次元）からＦ（１次元）への線形写像ですから、
１×ｎ行列で表されますよね。
つまり、Ｖのあるベクトルaiを横にしたものです。
それによる線形写像は、結局aiとの内積になりますよね。

つまり、「次元より少ない個数のai∈Vを選んだとき、それらすべてのaiと垂直なベクトルｘ∈Vが存在することを示せ」という問題な訳です。意味からすると、明らかに思えるでしょう？
二次元でも、一個のベクトルを選べば、それに垂直なベクトルはあるし、３次元でも、どんな２個のベクトルを選んでも、その両方に垂直なベクトルが選べるからです。

これで解けますか？
ヒントは、
(1)yiを表す行列（横ベクトル）を縦にならべたｍ×ｎ行列Ｙを造る。
Ｙｘ＝０となるｘの存在を言えばいい。
(2)あるいは、シュミットの直交化法で、実際にｘをつくってもよい。
(3)その他、いろんな解答が出来ると思います。頑張ってください。

お礼

詳細なご説明誠に有難うございます。

> 具体的に考えてみましょう。
> yiはＶ（ｎ次元）からＦ（１次元）への線形写像ですから、
> １×ｎ行列で表されますよね。

はい、それは納得です。

> つまり、Ｖのあるベクトルaiを横にしたものです。
> それによる線形写像は、結局aiとの内積になりますよね。

はい、それも納得です。

> つまり、「次元より少ない個数のai∈Vを選んだとき、それらすべてのaiと垂直なベ
> クトルｘ∈Vが存在することを示せ」という問題な訳です。意味からすると、明らか
> に思えるでしょう？

これは、「次元より少ない個数のai∈Vを選んだとき、それらすべてのaiとも一次独立であるものが存在するという意味ですね。つまり、a1とxは一次独立、a2とxも一次独立,…,amとxも一次独立を満たすようなxがm<nなら必ず存在する」という意味ですね。

> 二次元でも、一個のベクトルを選べば、それに垂直なベクトルはあるし、３次元で
> も、どんな２個のベクトルを選んでも、その両方に垂直なベクトルが選べるからで
> す。
> これで解けますか？

多分解けると思います。

> ヒントは、
> (1)yiを表す行列（横ベクトル）を縦にならべたｍ×ｎ行列Ｙを造る。
> Ｙｘ＝０となるｘの存在を言えばいい。
> (2)あるいは、シュミットの直交化法で、実際にｘをつくってもよい。

(2)についてはこの線形空間が内積空間になっていると保証されてないのでシュミットの直交化法は使えませんよね?

回答No.1

ringohatimitu

例えば次の事実に気が付けばすぐ分かります。
「V,Wを(n+1)次元ベクトル空間Xの部分空間で次元をそれぞれj,nとすればdim(V∩W)≧j-1」

これが証明されたとして質問の問題に当てはめてみます。
今dim(V)=n+1,Ker(y_j)=V_jとするとdim(V_j)=nです。
次にV_1∩V_2の次元は上の事実「」からn-1以上でなければなりません。次に(V_1∩V_2)∩V_3を見ます。()内の次元はn-1以上、dim(V_3)=nなので再び上の事実「」からこの共通部分空間の次元はn-2以上になります。これを繰り返していけば任意のm<nに対して∩[j=1,,,m]V_jの次元はn-m≧1であることが得られます。

さて「」を示します。代数的（加群的）な方針でいくとシンプルです。
V/(V∩W),W/(V∩W)をX/(V∩W)の部分空間と見ます。
前者２つは共通部分{0}でそれらのベクトル空間としての和は当然
X/(V∩W)に含まれますから
(j-dim(V∩W))+(n-dim(V∩W))≦n+1-dim(V∩W)
です。これよりdim(V∩W)≧j-1となります。

お礼

どうも御回答有難うございました。
お陰様で大変参考になりました。