線形代数（大至急その２)

質問

n次の正方行列Ｍが与えられたとき、その行列が空間V＝R＾ｎからVのある部分空間への正射影を対応させる変換を表す行列であるための必要十分条件は、Ｍ＾２＝MかつＭ＾ｔ＝Mであることが知られている。
問(1)条件M＾２＝Mはどのような意味であるかを変換の観点から簡単に説明せよ。 　　　　　　　　　　　　問(2)ｎ＝３のとき、行列M＝|x1 x2 x3|(a,bは実数),(x1=(1-a a a)^t、x2=(a b b)^t、x3=(a b b)^t)
形で正射影を対応させる行列は三つある。それらの行列M1、M2、M3を求めよ。
問(3)：問(2)で求めた三つの行列M1、M2、M3の固有値が０と１に限られることを示し、固有値１に対する固有値ベクトルをそれぞれ示せ
問(4)：問(2)で求めた三つの行列はそれぞれV＝R＾３からどのような空間への正射影を対応させているかを問(3)の結果と関連つけて説明せよ

よろしくお願いします。

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

誤りがありました。(a,b)=(1/3,1/6)の場合の固有ベクトルを
　　2|x>+|y>+|z>
に訂正させて頂きます。

回答No.1

grothendieck

(1)部分空間Wへの正射影とはベクトルをこの部分空間と直行補空間の成分に分けたときWの成分だけを残すことです。Wに属するベクトルに正射影を行っても不変ですからM^2=Mとなります。ディラックのブラ・ケット記号を使うと、|ai> (i=1,2,…)を互いに直交する規格化されたベクトルとすると|ai>で張られる空間への正射影は
　　　M=|a1><a1|+|a2><a2|+…
(2)M^2=Mを解くと，
　　(a,b)=(0,0), (0,1/2), (1/3, 1/6)
(3)一般に正射影の固有値は1と0に限られます。すなわち射影される部分空間に元々属していたベクトルと、部分空間に直交するベクトルです。上記のa,bの固有値1の固有ベクトルを求めると，
　(a,b)=(0,0)　|x>
　(a,b)=(0,1/2)　√2|x>+|y>+|z>, √2|x>-|y>-|z>
　(a,b)=(1/3,1/6)　2|x>-|y>+|z>
ここで|x>などはそれぞれの方向の単位ベクトルを表わします。
(4)Mは対称行列であるからMの固有ベクトルは空間全体を張るはずである。任意のベクトルをMの固有ベクトルで展開するとMは固有値1のベクトルで張られる空間への正射影になることが分かる。