"into m and along n"と"onto n along m"の意味は?

質問

[Q]Projections:Given L(V).V=m(+)n.
E is a projection into m and along n.And F is a projection onto n along m.
Show that E,F are linear transformations.
((+)は直和の記号を表してます。L(V)はF上のベクトル空間VからVへの線形写像全体の集合を表してます)

はどうやって解けばいいのでしょうか?
(linear transformation の定義は或る線形空間から同線形空間への線形写像の事です。今回の場合VからVへの線形写像)

a projection into m and along n
と
a projection onto n along m.
の意味がよく分かりません。
(mとnはVの部分空間でVの任意の元がmとnとの一意的な和で表されるのすよね)

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

たぶん，この問題よりも前「射影」の定義がでてませんか？
その定義によっていろいろ状況が変わるはずです．
書いてあるのはこんな定義ですか？

V=M(+)N とすると
Vの任意の元 v は x= m+n (mはMの元，nはNの元)
と一意に表わすことができる．
このとき，n=P(x) と表し，写像 P を
Mに沿ったNの上への射影(projection onto N along M)
という．
これなら線型であるのを示すのは
直和分解の一意性を使ってすぐわかります．
＃(kx+lx')=(km+ln)+(km'+ln')←ヒント

もう一個のほうですけども
一般的には，写像で``into''というと
「中への写像」と訳され，単射を意味して，
``onto''というと「上への写像」と訳され，
全射を意味します．
それと
>a projection into m and along n
これは
a projection into m along n
のような気がします．

そもそも射影というのは本質的に``onto''であって，
``into''な射影というのはあんまり一般的な言葉ではないと
思います．
intoの方は意味が分かりません．
単なる誤植か，``onto''の「反対」くらいの意味なのか・・
それとも私が何か勘違いしてるのか．

お礼

御回答有難うございます。
遅くなりまして申し訳有りません。

> たぶん，この問題よりも前「射影」の定義がでてませんか？

ありました。
「F線形空間Vの部分空間M,NとV=M(+)Nに於いて、
∀v∈V,E(v)=m∈M such that v=m+n
の時、
EをNに沿ったのMの射影と呼ぶ」

> これなら線型であるのを示すのは

v1,v2∈V,一意的に∃m1,m2∈M, n1,n2∈N such that v1=m1+n1,v2=m2+n2
E(v1+v2)=E((m1+m2)+(n1+n2))=m1+m2
E(v1)+E(v2)=m1+m2
∴E(v1+v2)=E(v1)+E(v2)
同様にして,∀c∈Fに対して
cE(v1)=E(cv1)
も示される。
よってEは線形ですね。

> 単なる誤植か，``onto''の「反対」くらいの意味なのか・・

タイポとの事でした。どうもお騒がせ致しました。