基本的な確率の問題

質問

基本的な問題なのですが、理解できなかったので教えてください。

電源----スイッチA---スイッチB----電球

上のような図でスイッチAとBが共に壊れていない時に電球が点きます。
スイッチAとBの動かない確率をFとします。
この場合の電球が点く確率を、
１．スイッチの動いている確率から求める
２．スイッチが壊れる確率から求める
このような２つケースで考えます。
１．は理解できたのですが２．が理解できませんでした。

１．の場合
　スイッチAとBの動いている確率はそれぞれ（1-F）なので、電球の点く確
　率は(1-F)の二乗。展開すると 1 - 2F + F^2

２．の場合
　スイッチAとBの動いている場合と動いていない場合の組み合わせは、
　　　A　　　　　B　　　　　
　(1)　動く　　　動く
　(2)　動く　　　動かない
　(3)　動かない　動く
　(4)　動かない　動かない　　
　の４通りで、(2)と(3)と(4)の場合は電球が点かないことになります。
　よって電球が点く確率を以下のように考えました。
　1 - スイッチABが動かない確率
　↓
　1 - ((2)の確率 + (3)の確率 + (4)の確率)
　↓
　1 - (　F　　　+ F + F^2 )
　展開すると、1 - 2F - F^2 となり、(1)と違ってしまいます。
　逆に１．の答えから考えると、
　1 - ((2)の確率 + (3)の確率 - (4)の確率)
　となっていることが判るのですが、(4)はスイッチAとBの両者が動かない　場合であり、これを何故(2)と(3)から控除するのかが理解できませんでした。

長くなってしまいましたが、納得できるよう、わかり易く教えてください。宜しくお願いします。

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

A　　　　　B　　　　　
　(1)　動く　　　動く
　(2)　動く　　　動かない
　(3)　動かない　動く
　(4)　動かない　動かない　　
　の４通りで、(2)と(3)と(4)の場合は電球が点かないことになります。
　よって電球が点く確率を以下のように考えました。
　1 - スイッチABが動かない確率
　↓
　1 - ((2)の確率 + (3)の確率 + (4)の確率)

ここまではＯＫ。問題は、(2), (3), (4) の確率です。
(2) の確率は F ではなく、Aが動き(確率 1-F)、Bが動かない(確率 F) なので、その同時確率で (1 - F) F です。
(3) も同様で、Aが動かず（確率 F)、Aが動かない（確率 1 - F) の同時確率で F (1 - F)
(4) は A,B共に動かない確率なので F^2
故に
1 - { (1-F)F + F(1- F) + F^2} = 1 - (2F - F^2) = 1 - 2F + F^2
です。

P(A) を Aが動かない確率、
P(B) を Bが動かない確率、
とすると、ＡまたはBが動かない確率は
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
です。分かりにくければベン図でも書いて考えてみてください。
P(A) = P(B) = F, P(A∩B) = F^2 なので、
P(A∪B) = 2F - F^2
ここで、
P(A,Bともに動く) = 1 - P(A∪B) = 1 - (2F - F^2) = 1 - 2F + F^2
ということです。

お礼

すごく納得できました！
教えていただいた後でこんなことを言うのもなんですが、長時間考えて何故気づかなかったのか情けなく思います。
判りやすい回答をありがとうございましたm(__)m

回答No.3

kumipapa

すんません。誤記訂正

(3) も同様で、Aが動かず（確率 F)、Bが動く（確率 1 - F) の同時確率で F (1 - F)

です。

回答No.2

arrysthmia

間違いは、
＞　1 - ( (2)の確率 + (3)の確率 + (4)の確率 )
＞　　↓
＞　1 - ( F + F + F^2 )
の箇所で、(2)の確率 = (3)の確率 = F と
してしまった点にあります。

正しくは、(2)の確率 = (3)の確率 = F ( 1 - F ) です。
(4)の確率 = F^2 と計算した理由を思い出して、
(1)～(4)を定義した表と見比べてみて下さい。

お礼

的を得た回答をありがとうございましたm(__)m